数学理卷·2018届福建省莆田市第二十四中学高三上学期第二次月考（12月）（2017 7页

福建省莆田第二十四中学2018届高三上学期第二次月考（12月）‎ 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.满足条件的集合的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.一个扇形的弧长与面积的数值都是，这个扇形中心角的弧度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知函数，规定区间，对任意，，当时，总有，则下列区间可作为的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．不确定 ‎6.已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知，，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数，若对任意的，在上总有唯一的零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数，实数，，满足（），若实数是的根，那么不等式中不可能成立的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的，，，是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．‎ ‎14.已知，则的值为 ．‎ ‎15.已知函数，其中，若对任意实数，使得关于的方程至多有两个不同的根，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知函数，若不等式恰好存在两个正整数解，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，，且，，.‎ ‎（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18. 在梯形中，，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求梯形的高.‎ ‎19. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.‎ ‎（1）要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？‎ ‎（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？求出最小值.‎ ‎20. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若三角形的周长为，面积为，且，求三角形三边长.‎ ‎21. 已知函数，其中.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCCAB 6-10:ADDCB 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1） ‎ ‎（2），当时，‎ 当时，‎ （3） 当时，不等式成立，即： ‎ ‎ 在区间，设，‎ 函数在区间为减函数，，当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此.‎ ‎18.解：‎ ‎（1）在中，∵，∴‎ 由正弦定理得：，即 ‎（2）在中，由余弦定理得：，整理得解得.过点作于，则为梯形的高.∵，，∴.‎ 在直角中，‎ 即梯形的高为.‎ ‎19.试题分析：（1）设出相关量坐标，确定该矩形的长和高，进而确定其面积，通过解一元二次不等式进行求解；（2）利用基本不等式进行求解． ‎ 解：（1）设的长为（）米，则米.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 由，得.‎ 又，得，解得：或，‎ 即的长的取值范围是.‎ ‎（2）矩形花坛的面积为 ‎，‎ 当且仅当，即时，取得最小值.‎ 故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．‎ ‎20.解：（1）化简：方案一：‎ 方案二：切化弦：‎ ‎（2）由面积公式，由余弦定理可得：，而，可得，代入上式，化简整理可得，所以，是方程的两根，所以，，‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎（2）的取值范围是 ‎22.解：（1）因为，由已知得，∴.‎ 所以 设.则，在上恒成立，即在上是减函数.‎ 由知，当时，，从而，当时，从而.‎ 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎（2）因为，要证原式成立即证成立 现证明：对任意，恒成立.‎ 当时，由（1）知成立；‎ 当时，，且由（1）知，∴.‎ 设，，则 当时，当时，，所以当时，‎ 取得最大值，所以，即时，.‎ 综上所述，对任意，.①‎ 令（），则恒成立，所以在上递增.‎ 恒成立，即.即.②‎ 当时，有；当时，由①②式，，‎ 综上所述，时，成立，故原不等式成立.‎