衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题六 异面直线问题求解攻略 9页

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题六异面直线问题求解攻略 ‎【方法综述】‎ 异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中一类最重要的位置关系，它在立体几何中占有重要的地位，是历年考查的重点和热点，围绕异面直线设计的命题，主要有以下类型，一是概念的辨析，二是判定与证明，三是角的计算.下面举例说明．‎ ‎1．概念的辨析 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的这种不共面特性．应该明确分别在不同平面内的两条直线不一定是异面直线，在某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线也不一定是异面直线．‎ 例1.若直线l‎1‎和l‎2‎是异面直线，l‎1‎在平面α内，l‎2‎在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）‎ A． l与l‎1‎‎,‎l‎2‎都不相交 B． l与l‎1‎‎,‎l‎2‎都相交 C． l至多与l‎1‎‎,‎l‎2‎中的一条相交 D． l至少与l‎1‎‎,‎l‎2‎中的一条相交 解析 在A中，直线l与l‎1‎、l‎2‎可以相交，如图，‎ 所以选项B错误；‎ 在B中，直线l可以与l‎1‎、l‎2‎中的一个平行，如上图，所以选项B错误；‎ 在C中，直线l与l‎1‎、l‎2‎可以都相交，如图，‎ 所以选项C错误；‎ 在D中，“l至少与l‎1‎‎,‎l‎2‎中的一条相交”正确，‎ 假设直线l与l‎1‎、l‎2‎都不相交，‎ 因为直线l与l‎1‎、l‎2‎都共面，‎ 所以直线l与l‎1‎、l‎2‎都平行，‎ 所以l‎1‎‎∥‎l‎2‎，这与直线l‎1‎和l‎2‎是异面直线矛盾，所以选项D正确.‎ 答案D.‎ 点评：　异面直线的定义强调的是这两条直线不同在任何一个平面内，而不是指在某特定平面内．‎ ‎2．异面直线的判定与证明 异面直线的判定方法有：①定义法，由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法，用此方法可以证明两直线是异面直线．‎ 例2.M，N，E，F，G，H，P，Q是正方体ABCD－A1B1C1D1所在棱的中点，则PQ，EF，GH中与直线MN异面的直线是________．‎ 分析　要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断．‎ 解析　首先，我们不难看出PQ∥MN；其次，根据平面的基本性质，可得MN，EF交于一点，即MN与EF共面；最后，我们可直观地得到GH与MN异面．‎ 答案　GH 点评：　判断两条直线是不是异面直线，除了根据定义及平面的基本性质外，直观上的感知也是十分重要的一方面．‎ ‎3．求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的解题思路是：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交直线所成的角，具体的平移过程应视题而定．主要有以下四种平移途径：‎ ‎①利用三角形的中位线平移；②利用平行线分线段成比例的推论平移；③利用平行四边形平移；④利用补形平移．‎ 例3.如图，在每个面都为等边三角形的四面体S－ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．‎ 分析　要求异面直线EF与SA所成的角，首先依定义作出其所成角，为此取SB的中点D，连接ED，FD，根据三角形中位线性质知∠EFD是异面直线EF与SA所成的角．‎ 解　如图，连接CF，SF，设四面体S－ABC的棱长为a，‎ 则SF＝CF＝a.‎ 因为E为SC的中点，所以EF⊥SC.‎ 在Rt△SEF中，SE＝SC＝a，‎ 所以EF＝＝a.‎ 取SB的中点为D，连接ED，FD.因为BC＝SA＝a，‎ 而FD∥SA且FD＝SA，ED∥CB且ED＝CB，‎ 所以FD＝ED＝a，于是FD2＋ED2＝EF2.‎ 故△DEF是等腰直角三角形，可得∠EFD＝45°，‎ 即异面直线EF与SA所成的角是45°.‎ 点评：　本题以正四面体为依托，通过求异面直线所成的角，考查了异面直线的有关概念，明确了求异面直线所成角的具体求解方法，即“作—证—求”．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1．下列命题中，正确的是(　　)‎ A．a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 C．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 D．异面直线所成的角的范围是[0°，90°]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析　根据异面直线有关概念进行判断，将错误的选项逐一排除．‎ 解：选项A中，a，b的位置关系有可能相交、平行或异面；选项B中，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线；选项D中，两条平行或重合的直线所成的角为0°，因此异面直线所成角的范围是(0°，90°]，故答案选C.‎ ‎2．正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角是（ ）‎ A． π‎6‎ B． π‎4‎ C． π‎3‎ D． ‎π‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 取BD中点O，连结EO,FO，‎ 设正四面体的棱长为a,‎ 则OF//CD,OE//AB，且OF=OE=‎a‎2‎，‎ ‎∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，‎ 取CD中点G，连结BG,AG 则AG⊥CD,BG⊥CD，‎ ‎∵BG∩AG=G,∴CD⊥‎平面ABG,‎ ‎∵AB⊂‎平面ABG,‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴OF⊥OE‎，‎ ‎∴∠EFO=‎π‎4‎‎，‎ ‎∴‎异面直线EF与CD所成的角为π‎4‎,故选B .‎ ‎3．如图，多面体OABCD, AB=CD=‎‎2‎,AD=BC=AC=BD=2‎,且OA,OB,OC两两垂直．给出下列四个命题：‎ ‎①三棱锥O-ABC的体积为定值；‎ ‎②经过A,B,C,D四点的球的直径为‎5‎;‎ ‎③直线OB∥平面ACD；‎ ‎④直线AD,OB所成的角为‎60‎‎∘‎；‎ 其中真命题的个数是（　）‎ A． ‎1‎ B． ‎2‎ C． ‎3‎ D． ‎‎4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，‎ 则x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=y=1，z=‎3‎，‎ 对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为‎1‎‎3‎OC×‎1‎‎2‎OA×OB=‎2‎‎3‎，故①对；‎ 对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，‎ 即为‎(‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎5‎，故②对；‎ 对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．‎ 对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，‎ 由tan∠DAE=DEAE‎=‎‎3‎，则∠DAE=60°，故④对；‎ 故选：C ‎4．如图，已知三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的各条棱长都相等，且CC‎1‎⊥‎底面ABC，M是侧棱CC‎1‎的中点，则异面直线AB‎1‎和BM所成的角为(　　)‎ A． π‎2‎ B． C． D． ‎π‎3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角， 在△A2BM中，‎A‎2‎B=‎2‎a，BM=a‎2‎‎+‎‎(a‎2‎)‎‎2‎=‎5‎‎2‎a，‎ A‎2‎M=a‎2‎‎+‎‎(‎3a‎2‎)‎‎2‎=‎13‎‎2‎a，∴A‎2‎B‎2‎+BM‎2‎=A‎2‎M‎2‎，∴∠MBA‎2‎=π‎2‎,‎‎ ． 故选：A．‎ ‎5．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC, △PBC, △PAB, △PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为 （ ）‎ A． 平面BCD⊥平面PAD B． 直线BE与直线AF是异面直线 C． 直线BE与直线CF共面 D． 面PAD与面PBC的交线与BC平行 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由展开图恢复原几何体如图所示：‎ ‎∵‎折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，‎∴A不正确；‎ 由点A不在平面EFCB内,直线BE不经过点F,根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF 异面，所以B正确；‎ 在ΔPAD中，由PE=EA,PF=FD，‎ 根据三角形的中位线定理可得EF//AD,又‎∵AD//BC,∴EF//BC，‎ 故直线BE与直线CF共面，所以C正确；‎ ‎∵BC//AD,∴BC//‎面PAD，‎ 由线面平行的性质可知面PAD与面PBC的交线与BC平行，‎∴D正确，故选A.‎ ‎6．如图，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；②直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎③直线AM与BN是平行直线；④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为（ ）‎ A． ③④ B． ①② C． ①③ D． ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵A,M,C,‎C‎1‎四点不共面，‎ ‎∴‎直线AM与CC‎1‎是异面直线，故①错误；‎ 直线BN与MB‎1‎不同在任何平面内，是异面直，故②正确；‎ 直线AM与BN不同在任何平面内，是异面直线，故③错误；‎ 直线AM与DD‎1‎不同在任何平面内，是异面直，故④正确，故选D.‎ ‎7．关于异面直线a,b，有下列四个命题：‎ ‎（1）过直线a有且仅有一个平面β，使b//β;‎ ‎（2）过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥β;‎ ‎（3）在空间中存在平面β，使a//β,b//β;‎ ‎（4）在空间中不存在平面β，使a⊥β,b⊥β;‎ 其中正确命题的序号是____________.‎ ‎【答案】（1）（3）（4）‎ ‎【解析】‎ 在直线a选一点A，过A作直线c∥b，由公理3的推论可知存在平面β，使得a⊂β,c⊂β，因a,b异面，故b⊄β，所以b∥β，若存在不同的平面α,β，使得a⊂α,a⊂β,b∥α,a∥β，则α∩β=a，故a∥b，与a,b异面矛盾，故（1）正确.‎ 对于（2），若存在平面β，使得b⊥β，因a⊂β，故a⊥b，所以当a,b不垂直时，（2）就不成立，故（2）错.‎ 对于（4），如存在平面β，使得a⊥β,b⊥β，则a∥b，与a,b异面矛盾，故（4）正确.‎ 对于（3），在空间中取Q，过Q分别作a,b的平行线a',b'‎，设相交直线a',b'‎确定的平面为β（如果a,b中有一条直线在该平面中，可平移该平面使得a,b均在平面外），则a∥β,b∥β，故（3）正确.‎ 综上，填（1）（3）（4）.‎ ‎8．异面直线a,b成‎60°‎角，直线a⊥c，则直线b,c所成角的范围是_____________‎ ‎【答案】‎‎[30°,90°]‎ ‎【解析】‎ 如图：‎ 所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α,O点是直线a与平面α的交点, 做b的平行线b'‎,交a于O点,‎ 在直线b'‎上取一点P,做垂线PP⊥‎平面α,交平面α于P ,角POP'‎是b'‎与面α的线面夹角为‎30‎‎∘‎，‎ 在平面α中，所有与OP平行的线与b'‎的夹角都是‎30‎‎∘‎，为最小角，‎ 在平面α内所有与OP垂直的线（由于PP'‎垂直于平面α ,所以该线垂直与PP'‎，则该线垂直平面OPP,所以该线垂直与b'‎ )与b'‎的夹角等于‎90‎‎∘‎，为最大角，故答案为‎[30°,90°]‎.‎ ‎9．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎【答案】（1）不是异面直线（2）是异面直线 ‎【解析】‎ ‎(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A D1D，D1DC1C，所以A1AC1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．‎ ‎10．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】试题分析：首先说明、、三点均在面内，而不在面内，故而可得结论.‎ 试题解析：由已知，得、不重合．‎ 设所在平面为，则，，，，∴与异面．‎