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- 2021-06-19 发布
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单元评估检测(八) 第8章 平面解析几何
(120分钟 150分)
(对应学生用书第327页)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )
A.1或-3 B.-1或3
C.1或3 D.-1或-3
[答案] A
2.若直线l1:x-2y+m=0(m>0)与直线l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n=( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
[答案] A
3.直线y=2x为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则双曲线C的离心率是( )
【导学号:97190435】
A. B.
C. D.
[答案] C
4.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )
A.1 B.2
C.4 D.4
[答案] C
5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
[答案] C
6.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.6
C.12 D.7
[答案] C
7.(2018·黄山模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则1·2的最小值为( )
A.-2 B.-
C.1 D.0
[答案] A
8.椭圆+=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则△F
1PF2的面积是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
9.(2017·南昌模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点,准线方程为x=-1,直线l与抛物线C相交于A,B两点.若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为( )
A.y=2x-3 B.y=-2x+5
C.y=-x+3 D.y=x-1
[答案] A
10.设双曲线-=1(a>0,b>0),离心率e=,右焦点F(c,0).方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆外 B.点P在圆上
C.点P在圆内 D.不确定
[答案] C
11.抛物线y2=8x的焦点F与双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点重合,又P为两曲线的一个公共点,且|PF|=5,则双曲线的实轴长为( )
A.1 B.2
C.-3 D.6
[答案] B
12.已知双曲线-=1,a∈R,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,点P为双曲线上一点,满足|OP|=3a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为________.
[答案] 2x+3y-18=0或2x-y-2=0
14.已知双曲线S与椭圆+=1的焦点相同,如果y=x是双曲线S的一条渐近线,那么双曲线S的方程为________. 【导学号:97190436】
[答案] -=1
15.已知直线y=-x+a与圆C:x2+y2-4x+4y+4=0相交于A,B两点,且△ABC的面积S=2,则实数a=________.
[答案] 2或-2
16.已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且1·2=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为________.
[答案] 7
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.
【导学号:97190437】
[解] (1)将已知直线l化为y-1=m(x-1),
直线l恒过定点P(1,1).
因为=1<,
所以点P(1,1)在已知圆C内,
从而直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)或
18.(本小题满分12分)(2017·太原模拟)圆M和圆P:x2+y2-2x-10=0相内切,且过定点Q(-,0).
(1)求动圆圆心M的轨迹方程.
(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求直线l的方程.
[解] (1)+y2=1
(2)y=x+
19.(本小题满分12分)(2018·郑州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).
(1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程.
(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值.
[解] (1)设直线AM的方程为x=my+p,
代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0,则y1y2=-2p2=-8,得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设B(x3,y3),N(x4,y4).
由(1)可知y1y2=-2p2,
y3y4=-2p2,y1y3=-p2.
又直线AB的斜率
kAB===,
直线MN的斜率
kMN===,
所以==
==2.
故直线AB与直线MN斜率之比为定值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设F是椭圆C的左焦点,过点P(-2,0)的直线交椭圆于A,B两点,求△ABF面积的最大值. 【导学号:97190438】
[解] (1)+y2=1 (2)
21.(本小题满分12分)如图81,设椭圆+y2=1(a>1).
图81
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示).
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
[解] (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由
得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-.
因此|AM|=|x1-x2|=·.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,
且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=,
|AQ|=,
故=,
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)·kk]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0,
得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2)①.
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,
所以a>.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1<a≤,
由e==得,所求离心率的取值范围是0<e≤.
22.(本小题满分12分)如图82平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(
a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
图82
(1)求椭圆C的方程.
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
[解] (1)由题意F点的坐标为,所以b=,又e==,
所以=,易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1.
(2)①设P(2t,2t2)(t>0),则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为:y-2t2=2t(x-2t),
即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得,
(16t2+1)x2-32t3x+16t4-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
y1+y2=2t(x1+x2)-4t2=.
所以D,所以kOD=-,可得直线OD的方程为:y=-,
由题意,xM=2t,所以yM=-=-,所以点M在定直线y=-上.
②由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+,
所以S1=··2t,
S△DOG=·2t2·.
显然,△DPM与△DGO相似,所以
S2=·2t2··
=·2t·.
所以=·
=
≤·=.
当且仅当8t2+2=16t2+1,即t=时,取等号.所以的最大值为,取得最大值时点P的坐标为.