2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十五空间图形的基本关系与公理理北师大版 9页

核心素养测评四十五 空间图形的基本关系与公理 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.在下列命题中,不是公理的是 (　　)‎ A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.‎ ‎2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　)‎ A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为a α,所以P∈α,因为bβ,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.‎ 所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ ‎3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,‎ 在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,即EF与CD所成角为30°.‎ ‎4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 (　　)‎ - 8 -‎ A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 ‎【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.‎ ‎5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是 (　　)‎ A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 ‎【解析】选D.连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D1,‎ 因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,‎ 所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.‎ 又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.‎ ‎6.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个说法:‎ ‎①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.‎ 其中正确的个数是 (　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.将平面展开图还原成正方体(如图所示).‎ 对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;‎ - 8 -‎ 对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;‎ 对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;‎ 对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,‎ ‎∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小是________________________. ‎ ‎【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=,‎ ‎∠AOC=,所以∠BOC=,‎ 所以△BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角的大小为45°.‎ 答案:45°‎ ‎8.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成________________部分. ‎ ‎【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7部分.‎ 答案:7‎ - 8 -‎ ‎9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________________. ‎ ‎【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.‎ 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K==,‎ MK=DN==,A1M==6,‎ 所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.‎ 答案:90°‎ ‎10.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:‎ ‎①若a∥b,b∥c,则a∥c;‎ ‎②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;‎ ‎③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;‎ ‎④若a平面α,b平面β,则a,b一定是异面直线;‎ ‎⑤若a,b与c成等角,则a∥b.‎ 上述命题中正确的命题是________________(只填序号).  ‎ ‎【解析】由公理4知①正确;‎ 当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;‎ 当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;‎ aα,bβ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;‎ 当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.‎ - 8 -‎ 答案:①‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,) B.(0,)‎ C.(1,) D.(1,)‎ ‎【解析】选A.如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a>0.取CD中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE==,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2×>a,解得0