湖北省黄冈市浠水县实验高级中学2020届高三上学期8月月考数学（理）试题 22页

浠水实验高中2020届高三八月月考数学（理科）试题 第Ⅰ卷 一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设复数且，则的虚部为（ ）‎ A. -2 B. -4 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎， ,,=．‎ ‎3.命题“若，则”的否命题为（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则或 C. 若，则且 D. 若，则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.‎ ‎【详解】 设为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非.‎ ‎ 原命题“若，则”‎ ‎ 故其否命题为: 若，则或 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.‎ ‎4.函数，则（ ）‎ A. B. -1 C. -5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ f（x）= ‎ ‎∴f（ ）= ,‎ f[f（）]=f（）= .‎ 故答案为A．‎ 点睛:由分段函数得f（）=，由此能求出f[f（）]的值．‎ ‎5.若，则“”是“”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找出及的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．‎ ‎【详解】由a>1,得 等价为x>y; 等价为x>y>0‎ 故“ ”是“”的必要不充分条件 故选A ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎6.若，则a，b，c，的大小关系（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别比较与的大小,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】比较数的大小常用的方法有:①作差,②正数平方,③函数单调性,④找中间量.本题是采用找中间量.‎ ‎7.已知函数，，若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得 ，选D.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎8.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．‎ 详解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，‎ 由题意得：‎ α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，‎ ‎①∵ln（β+1）=，‎ ‎∴（β+1）β+1=e，‎ 当β≥1时，β+1≥2，‎ ‎∴β+1≤＜2，‎ ‎∴β＜1，这与β≥1矛盾，‎ ‎∴﹣1＜β＜1；‎ ‎②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，‎ ‎∴3γ2＞0‎ ‎∴γ3＞1，‎ ‎∴γ＞1．‎ ‎∴γ＞α＞β．‎ 故选A．‎ 点睛：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎9.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且自变量趋向于正无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越大.观察选项即可得出答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ 由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且自变量趋向于正无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在轴上下震荡,幅度越来越大.‎ 对于A,符合上述分析,故A正确;‎ 对于B,振幅变化规律与函数的性质相悖,故B不正确;‎ 对于C,是一个偶函数的图像,而已知的函数不是一个偶函数,故C不正确;‎ 对于D,最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,故D不对确.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图像的识别,主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特点进行排除,属于基础题.‎ ‎10.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.‎ ‎【详解】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，则函数零点个数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先研究函数的性质，然后结合函数的图像整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】当时，，‎ 据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，‎ 绘制函数图像如图所示，‎ 注意到，‎ 故方程的解：，‎ 则原问题转化为求方程时解的个数之和，‎ 由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的数学思想，函数的零点问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.定义一：对于一个函数，若存在两条距离为d直线和 ‎，使得在时，恒成立，则称函数在D内有一个宽度为d的通道.定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.下列函数：①；②；③.其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义一与定义二,对所给函数进行逐一判定,即可求得答案.‎ ‎【详解】①,随着的增大,函数值也在增大,无渐近线,故不存在一个实数,使得函数在内有一个宽度为的通道,故在正无穷处无永恒通道;‎ ‎②中的函数,当时,函数的图像表示的是双曲线在第一象限内的图像,其渐近线方程为,可取直线和直线,则有在上恒成立,故函数是在上通道宽度为的函数;‎ ‎③,随着的增大,函数值趋近于,趋近于轴,对于任意给定的正数,都存在一个实数使得函数在内有一个宽度为的通道,故在正无穷处有永恒通道.‎ ‎ 故在正无穷处有永恒通道的函数的个数为:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查的重点是对新定义的理解,解题的关键是通过研究函数的性质,找出满足题意的直线,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则的定义域为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数和对数函数的性质即可求得．‎ ‎【详解】由题解得 ‎【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题．‎ ‎14.定义在上的奇函数满足，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）满足f（-x）=，‎ 故函数f（x）为周期为3的周期函数，‎ ‎∵f（2014）=2，‎ ‎∴f（1）=2，‎ 又∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ 故答案为﹣2．‎ 点睛: 根据函数奇偶性的性质结合条件判断函数的周期性进行求解即可.‎ ‎15.若函数（为实常数）在其定义域上是奇函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只有当或者时，函数定义域才会关于原点对称，解得，再根据奇函数的定义进行求证，即可.‎ ‎【详解】当时，函数定义域为 ，又因为在其定义域上是奇函数 故有，即，解得：，‎ 此时满足，符合题意；‎ 当时，函数定义域为，又定义域关于原点对称，‎ ‎∴，解得 此时 ,符合题意，‎ 综上所述： .‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查奇函数的定义及其性质，属于容易题．‎ ‎16.对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的 ‎,根据相应性质判断命题即可求得答案.‎ ‎【详解】对于①,如图:‎ ‎ ‎ 任取 当,‎ 当,,‎ ‎ ,,恒成立 故①正确.‎ 对于②, ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 故②错误.‎ 对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像 如图:‎ ‎ 和图像由三个交点.‎ ‎ 的零点的个数为:.‎ 故③正确.‎ 对于④,设,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 令 在,‎ 可得:‎ 当时,,,,‎ ‎ ‎ ‎ 若任意,不等式恒成立,‎ 即,可得 ‎ 求证:当,,化简可得: ‎ 设函数,则 ‎ 当时,单调递增,可得 ‎ ‎ ‎ 即: ‎ 综上所述,对任意,不等式恒成立.‎ 故④正确.‎ 故答案为:①③④.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,分段函数的性质和函数的零点.对于含参数不等式恒成立问题可转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数,利用函数的最值即可求出结果,考查了推理能力与计算能力.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设命题函数的值域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题知道P和Q一真一假，分两种情况进行讨论：P真Q假和P假Q真，再根据二次函数的恒成立问题的解法和不等式的恒成立问题的解法解题，要把每种情况都讨论清楚，不要遗漏知识点.‎ 试题解析：若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题，则有P和Q一真一假, .2分 先求出P,Q都为真时a的取值：‎ 当P为真时，即对任意的，都有恒成立,‎ 则，解得, 4分 当Q为真时，在区间上的最大值是3,‎ 则有恒成立，解得, 6分 由上知当P,Q一真一假时有：‎ P真Q假P假Q真, 10分 解得. 12分 考点：二次函数的图形和性质的应用，二次函数的恒成立问题.‎ ‎18.已知.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）解关于x的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，方程无解；当，则；若，则.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）令即,代入解析式化简求出,即可求得的解析式;‎ ‎（2）由（1）得,化简,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）令即，‎ 则 ‎（2）由化简得:即 当时,方程无解 当时,解得 若,则,‎ 若,则.‎ 综上所述,当时,方程无解 当,则 若,则.‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数求解析式和解指数方程.求复合函数的解析式,可用换元法,这是解本题关键.属于基础题.‎ ‎19.已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）当a=1时，f（x）=ex+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得； ‎ ‎（II）将f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵当时，，，‎ ‎，，‎ ‎∴函数在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 设切线与轴的交点分别为，‎ 令得，，令得，，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．‎ ‎（Ⅱ）由得，．‎ 令，‎ 则 ，‎ 令，则．‎ ‎∵，∴，在区间上为减函数，∴．‎ 又，，∴，‎ ‎∴在区间上为增函数，，‎ 因此只需即可满足题意．‎ 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎20.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量（件）与单价（元）之间的关系如图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元.‎ ‎（1）根据周销售量图写出（件）与单价（元）之间函数关系式；‎ ‎（2）写出利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润.‎ ‎【答案】（1）；（2），当该商品的销售价格为元时，周利润最大为元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在这两个区间上，函数图象都是线段，故利用斜截式，列方程组，可求得其函数表达式；（2）利润是销售量乘以每件的利润，再减去固定成本，结合（1）求得的表达式，可求得关于的关系式，并利用二次函数配方法可求得最大值.‎ ‎【详解】（1）①设当时，，代入点，‎ 得，‎ ‎②设当时，，代入点， ‎ 得， ‎ 故周销量（件）与单价（元）之间的函数关系式 为 ；‎ ‎（2），‎ ‎①当时，，所以时，；‎ ‎②当时，，‎ 可知在单调递减，所以， ‎ 由①②可知，当时，，‎ 故当该商品的销售价格为元时，周利润最大为元. ‎ 点睛：本题主要考查函数实际应用问题.本题分成两个步骤，第一个步骤是先根据题目所给函数的图像，求出销售量的表达式，这个过程中由于函数图像分成两个线段，故采用设出线段所在直线的斜截式方程，代入点的坐标即可求得函数的解析式.第二问要算利润，即是销售利润减去固定成本，写出利润表达式后利用配方法求最值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对任意的，恒有成立，求k的取值范围；‎ ‎（3）证明：.‎ ‎【答案】（1）的增区间，减区间，极大值，无极小值；（2）‎ ‎；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知分别解出,即可求得单调区间、极值;‎ ‎（2）由,分离参数可得:对任意的恒成立,由（1）即可求得k的取值范围;‎ ‎（3）,由（1）知:,可得（当且仅当取等号）.令,即,利用“累加求和”、“裂项求和”即可求得答案.‎ ‎【详解】（1） ,故 当,解得 列表如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增 极大值 单调递减 因此增区间,减区间,极大值,无极小值.‎ ‎（2） ，，‎ ‎ ,即:‎ ‎ ,可得:.‎ ‎（3）由（1）可得，‎ ‎ 当且仅当时取等号.‎ 令,则 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上吧所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1） ， ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程．（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值．‎ ‎【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，‎ 曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程改写为（t为参数），‎ 代入，，，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．‎ ‎23.‎ 已知，（）．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接运用含绝对值不等式的分类思想进行求解即可；（2）将问题“不等式恒 成立”转化为“”，于是问题转化为求的最小值，然后由含绝对值的三 角不等式即可得出所求的结果．‎ 试题解析：（1）不等式的解集为．‎ ‎（2）若不等式恒成立，即恒成立．而的最小值为，∴，解得，故的范围．‎ 考点：1、含绝对值的不等式求解；2、恒成立综合问题；‎ ‎ ‎