数学文·吉林省长春市第十一高中2016-2017学年高二上学期期初考试数学（文）试卷 Word版含解析x 9页

吉林省长春市第十一高中2016-2017学年高二上学期期初考试数学（文）‎ 一、选择题：共12题 ‎1．椭圆的短轴长为 A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查双曲线的性质.由椭圆方程可知b=4，所以椭圆的短轴长为2b=8.‎ ‎ ‎ ‎2．双曲线的一条渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查双曲线的渐近线方程.由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为 ，故选A.‎ ‎ ‎ ‎3．抛物线的焦点坐标为 A.(0 ，) B.(，0) C.(0 ，) D.(，0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查抛物线的方程与焦点坐标.抛物线的开口向上，由抛物线的方程可知p=，所以焦点(0 ，)‎ ‎ ‎ ‎4．下列命题：①如果则；②如果，则；③是两个不同定点，动点满足是常数，则动点的轨迹是椭圆.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查命题真假的判断、三角函数、不等式、点的轨迹，考查了分析问题与解决问题的能力.显然①正确；令，则，故②错误；当点P在线段AB上时，则③错误，故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎5．椭圆4x2的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查椭圆的性质.由椭圆的方程可得a=1，b=，则c=，所以双曲线的离心率为 ‎ ‎ ‎6．过(2，2)点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质.由题意，设所求双曲线的方程为,所以t=，则所求双曲线的方程为 ‎ ‎ ‎7．“点到两条坐标轴距离相等”是“点的轨迹方程为”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、点的轨迹，考查了逻辑思维能力. 当点的轨迹方程为，则点P到两条坐标轴的距离相等；当点到两条坐标轴距离相等时，点的轨迹方程为，因此答案为B.‎ ‎ ‎ ‎8．椭圆的焦距为6，则m的值为 A.m=1 B.m=19 C.m=1 或m=19 D.m=4或m=16‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查椭圆的方程，考查了分类讨论思想.c=3，当椭圆的焦点在x轴上时，a2=10，则m=a2-c2=1;当椭圆的焦点在y轴上时，a2=m，b2=10，所以m=19，故答案为C.‎ ‎ ‎ ‎9．将双曲线的右焦点，右顶点，虚轴一个端点所组成的三角形叫双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2-y2=4的“黄金三角形”面积是 A. B.2 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查双曲线的性质、三角形的面积、自定义问题，考查了分析问题与解决问题的能力.由双曲线方程可知，a=b=2，c=2，设右焦点，右顶点，虚轴一个端点分别为F、A、B，则|AF|=2，B到AF的距离为b=2，所以双曲线C：x2-y2=4的“黄金三角形”面积是S=‎ ‎ ‎ ‎10．双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为 A. B. C.或 D.或 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率，考查了转化思想与逻辑思维能力.因为双曲线的一条渐近线斜率为2，所以=2,即b=2a，则c=,所以双曲线的离心率e=‎ ‎ ‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线为，，是线段与的一个交点，若.则=‎ A. B. C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查了转化思想与逻辑思维能力.设l与x轴的交点为M，过Q作l的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得|FQ|=|QN|,,|FM|=6,因为,所以=4.‎ ‎ ‎ ‎12．直线与圆及抛物线依次交于四点，则=‎ A.6 B.8 C.7 D.9‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了方程思想与转化思想、计算能力.,圆的半径为，因为直线过圆心，所以|BC|=1,，，由可得，则，，所以由弦长公式可得|AD|=8，则.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．离心率为的椭圆:， ,且到椭圆的两个焦点距离之和为，则椭圆的方程为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程与性质.由题意可得2a=8，则a=4，又离心率为，则c=3，所以b2=a2-c2=7，则椭圆的方程为 ‎ ‎ ‎14．抛物线，与直线交于两点，则中点到轴距离为________________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】本题主要考查抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与转化思想.设点，，中点M(m,n),将代入，化简可得,则，则m=，所以AB中点到y轴的距离为12.‎ ‎ ‎ ‎15．已知椭圆，过作圆的切线，切点为,若=，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆的位置关系，考查了转化思想与逻辑思维能力.由题意，直角三角形OAP中=9，|OA|=b，=6，所以，求解可得 ‎ ‎ ‎16．双曲线C与椭圆C1:有相等焦距，与双曲线C2：有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的方程与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由双曲线C与椭圆C1:有相等焦距可得2c=10，又与双曲线C2：有相同渐近线，所以设双曲线C的方程为,当焦点在x轴上时，则18t+32t=25,t=,方程为；当焦点在y轴上时，,t=,方程为，所以双曲线C的标准方程为 三、解答题：共5题 ‎17．抛物线的通径为4，正三角形一个顶点是原点，另外两点也在抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)求正三角形边长.‎ ‎【答案】(1)抛物线的通径为，抛物线的方程为,‎ ‎(2)为正三角形.由抛物线的几何性质知：关于轴对称 设直线OA的方程为y=,  由   x2=4.‎ xA=4 yA=12,‎ ‎,‎ ‎△AOB=64.‎ ‎【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程，考查了转化思想与逻辑思维能力.(1)由题意可得，则可得抛物线的方程；(2)根据抛物线的对称性可知，关于轴对称，设直线OA的方程为y=，联立抛物线的方程，求出点A坐标，则易求正三角形的边长.‎ ‎ ‎ ‎18．椭圆，左右焦点分别为，的离心率，且过 ()点 ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若点在椭圆上，且,求的面积.‎ ‎【答案】(1)椭圆的离心率e=， a2=4b2，椭圆C的方程可写为,把P()代入C中得， b2=1 ，‎ 椭圆C的方程为.‎ ‎(2)在QF1F2中，‎ 由余弦定理= =,‎ ‎.‎ 且2c=2=2.‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程与性质、余弦定理、三角形的面积公式，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据离心率可得a2=4b2，再点P坐标代入椭圆方程，即可求出结果；(2)在QF1F2中，由余弦定理，结合椭圆的定义即可求出，再由三角形的面积公式求解即可.‎ ‎ ‎ ‎19．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，是椭圆的左，右焦点，直线的斜率为.‎ ‎(1)求点的坐标；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1)，，‎ 设点的坐标为， 点在椭圆上，且直线的斜率为，‎ 消去得，‎ 化简得，‎ 解得或，‎ 当时，故舍去 把代入，得 点的坐标为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与计算能力.(1)设点的坐标为，由题意可得，求解可得结果；(2)由(1)可得，则结果易得.‎ ‎ ‎ ‎20．曲线，直线，与交于两点，‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)设，由   ‎ 联立消y得 即k2x2-(8k2+12)x+16k2=0,  x1x2=16,‎ ‎(2)由(1)知x1+x2=,x1x2=16,‎ 代入弦长公式得4,‎ 即4,‎ ‎42k4=(1k2+9)(k2+1),即14k4=(4k2+3)(k2+1),‎ 整理有10k4-7k2-3=0,     k2=1, k=1或k= -1‎ 直线l方程为y=x-4或y= -x-4.‎ ‎【解析】本题主要考查抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式、直线方程，考查了方程思想与计算能力.(1)联立抛物线方程与直线方程，由韦定理可得结果；(2)利用弦长公式即可求出k的值，进而求出直线方程.‎ ‎ ‎ ‎21．如图，为椭圆的左，右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)由题可得解得，故椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设，，则，.由，‎ 即.(*)‎ ‎①当直线的斜率不存在时，.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得 ‎，则，‎ ‎，同理，代入(*)，整理得，此时，，‎ ‎∴.‎ 综上，的面积为定值1.‎ ‎【解析】本题主要考查自定义问题、椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式与点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想与方程思想、逻辑思维能力与计算能力.(1) 由题可得，求解可得椭圆方程；(2) 设，，则，，由，‎ 即，当直线AB的斜率不存在时，易得结果；当直线的斜率存在时，设其直线为，联立椭圆方程，由韦达定理，结合弦长公式与点到直线的公式求解即可.‎ ‎ ‎