专题04 三角比、解三角形的综合应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 10页

专题04 三角比、解三角形的综合应用 专题点拨 ‎1．“1”的活用；切弦互化：弦的齐次式可化为切；诱导公式的使用.‎ ‎2．熟悉：整体变换、把所求角表示为已知角的关系、变换的技巧、倍角与半角的相对性.如：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝＋，是的半角.‎ ‎3．在三角形内求值：已知三角形各边角关系，求值时，注意利用内角和为、正余弦定理进行转化，同时注意挖掘隐含条件．根据条件判断三角形形状：主要途径是把条件中的边角关系统一成边边关系或角角关系.‎ ‎ ‎ 真题赏析 ‎1.已知，则 （ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2.在中，，BC边上的高等于,则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得 ‎，则．在△中，由余弦定理可得 ‎，则．‎ 由余弦定理，可得，故选C．‎ ‎3.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 （ ）. ‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴由正弦定理得，‎ ‎∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形B.‎ ‎4.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米.设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和. ‎ ‎(1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？‎ ‎(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确到米）.‎ ‎【解析】(1)记CD＝h.根据已知得tanα≥tan2β>0，tanα＝，tanβ＝，所以≥>0，解得h≤20≈28.28.因此，CD的长至多约为28.28米．‎ (2) 在△ABD中，由已知，α＋β＝56.57°，AB＝115，由正弦定理得＝，解得BD≈85.064.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosβ，解得CD≈26.93.所以CD的长约为26.93米．‎ ‎ 例题剖析 ‎【例1】若，，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 而，，因此，，‎ 则．‎ ‎【变式训练1】‎ 已知为锐角，，．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎【解析】(1)因为，，所以．‎ 因为，所以，因此，．‎ ‎(2)因为为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎【例2】化简：.‎ ‎【解析】原式＝ ‎＝＝＝＝1.‎ ‎ ‎ ‎【变式训练2】已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tanα－cotα－1的值． ‎ ‎【例3】如图，某广场有一块边长为1的正方形区域，在点处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角始终为45°（其中点、分别在边、上），设，记.‎ ‎（1）用表示的长度，并研究△的周长是否为定值？‎ ‎（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为多少？‎ ‎【解析】（1）‎ ‎, , ‎ ‎ ‎ 所以 故 所以△的周长是定值 ‎（2） ‎ 当且仅当时，等号成立 所以摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为 ‎ ‎【变式训练3】（2019·徐汇区一模）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧，对应的圆心角. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点分别建有监测站，与之间的直线距离为100海里. ‎ ‎（1）求海域的面积；‎ ‎（2） 现海上点处有一艘不明船只，在点测得其距点40海里，在点测得其距点海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由.‎ ‎【解析】（1）‎ 则 ‎ ‎（平方海里） ‎ 所以，海域的面积为平方海里. ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这艘不明船只没有进入海域. ‎ ‎【答案】4‎ ‎5.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ．‎ ①若；则 ②若；则 ③若；则 ④若；则 ⑤若；则 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】 ①.‎ ‎②.‎ ‎③当时，与矛盾!故(2)正确.‎ ‎④取满足得：.‎ ‎⑤取满足得：．‎ 二、选择题 ‎6．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满 足，则下列等式成立的是（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由，‎ 得，‎ 即，所以，即，选A．‎ ‎7．在中，角所对的边长分别为．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．与的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】 因为，，‎ 所以， ‎ 所以. 故选A.‎ ‎8.设，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件得，即，‎ 得，又因为，，‎ 所以，所以．‎ ‎9.如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（ ）‎ ‎ A．　　 B． C． 　　 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中，‎ 由正弦定理得，解得．‎ 三、 解答题 ‎10.化简：.‎ ‎【解析】当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝＝＝＝－1；当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ ‎11.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为 ‎(1)求；(2)若，，求的周长．‎ ‎【解析】（1）由题设得，即 由正弦定理得．故．‎ ‎（2）由题设及（1）得 所以，故．由题设得，即．‎ 由余弦定理得，即，得．‎ 故的周长为．‎ ‎12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【解析】由题意知海里，‎ 在中，由正弦定理得 ‎=（海里）.‎ 又海里，‎ 在中，由余弦定理得 ‎= 30（海里），则需要的时间（小时）．‎ 答：救援船到达D点需要1小时． ‎