2019届二轮复习第29练　立体几何中的向量方法、抛物线课件（55张）（全国通用） 55页

第三篇 　 附加题专项练 ， 力保选做拿满分 第 29 练　立体几何中的向量方法、抛物线 明晰 考 情 1. 命题角度：空间角的计算，顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 . 2. 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 高考押题冲刺练 考点一　空间角的计算 要点重组 　设直线 l ， m 的方向向量分别为 a ＝ ( a 1 ， b 1 ， c 1 ) ， b ＝ ( a 2 ， b 2 ， c 2 ). 平面 α ， β 的法向量分别为 μ ＝ ( a 3 ， b 3 ， c 3 ) ， v ＝ ( a 4 ， b 4 ， c 4 )( 以下相同 ). (1) 线线夹角 核心考点突破练 (2) 线面夹角 (3) 二面角 方法技巧 　利用空间向量求解立体几何中的综合问题，要根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，将题中条件数量化，利用计算方法求解几何问题 . 证明 1. 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ BC ＝ 2 ， AD ＝ PD ＝ 4 ， ∠ BAD ＝ 60° ， ∠ ADP ＝ 120° ，点 E 为 PA 的中点 . (1) 求证： BE ∥ 平面 PCD ； 证明 　 取 PD 中点 F ，连结 CF ， EF . 因为点 E 为 PA 的中点， 所以 EF ∥ BC 且 EF ＝ BC ， 所以 四边形 BCFE 为平行四边形，所以 BE ∥ CF ， 又 BE ⊄ 平面 PCD ， CF ⊂ 平面 PCD ，所以 BE ∥ 平面 PCD . 解答 (2) 若平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，求直线 BE 与平面 PAC 所成角的正弦值 . 解　 在平面 ABCD 中，过点 D 作 DG ⊥ AD ，在平面 PAD 中，过点 D 作 DH ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， DG ⊂ 平面 ABCD ，所以 DG ⊥ 平面 PAD ， 又 DH ⊂ 平面 PAD ， 所以 DG ⊥ DH ，所以 DA ， DG ， DH 两两互相垂直 . 以 D 为原点， DA ， DG ， DH 所在直线分别为 x 轴 、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 D － xyz ( 如图 ) ， 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 ACP 的一个法向量， 设直线 BE 与平面 PAC 所成角为 θ ， 解答 2. 如图，在五面体 ABCDEF 中， FA ⊥ 平面 ABCD ， AD ∥ BC ∥ FE ， AB ⊥ AD ， M 为 EC 的中点， AF ＝ AB ＝ BC ＝ FE ＝ . (1) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； 设 AB ＝ 1 ，依题意得 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°. 证明 (2) 证明：平面 AMD ⊥ 平面 CDE ； 因此， CE ⊥ AM ， CE ⊥ AD . 又 AM ∩ AD ＝ A ， AM ⊂ 平面 AMD ， AD ⊂ 平面 AMD ， 故 CE ⊥ 平面 AMD . 又 CE ⊂ 平面 CDE ，所以平面 AMD ⊥ 平面 CDE . 解答 (3) 求二面角 A － CD － E 的余弦值 . 解　 设平面 CDE 的法向量为 u ＝ ( x ， y ， z ) ， 令 x ＝ 1 ，可得 u ＝ (1,1,1). 又由题设知，平面 ACD 的一个法向量为 v ＝ (0,0,1). 证明 3. 如图，已知四棱锥 P － ABCD 的底面为直角梯形， AB ∥ CD ， ∠ DAB ＝ 90° ， PA ⊥ 底面 ABCD ，且 PA ＝ AD ＝ DC ＝ ＝ 1 ， M 是 PB 的中点 . ( 1) 证明：平面 PAD ⊥ 平面 PCD ； 证明 　 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以 AP ⊥ DC . 由题设知 AD ⊥ DC ，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线 ， 所以 DC ⊥ 平面 PAD . 又 DC ⊂ 平面 PCD ，所以平面 PAD ⊥ 平面 PCD . (2) 求 AC 与 PB 所成角的余弦值； 解答 (3) 求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角 ( 锐角 ) 的余弦值 . 解　 设平面 AMC 的一个法向量为 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ). 取 x 1 ＝ 1 ，得 y 1 ＝－ 1 ， z 1 ＝ 2 ，所以 n 1 ＝ (1 ，－ 1,2). 同理可得平面 BMC 的一个法向量为 n 2 ＝ (1,1,2). 解答 解答 解　 连结 CE , 以 EB ， EC ， EA 所在直线分别为 x ， y ， z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 解答 设平面 ACD 的一个法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 考点二　抛物线 要点重组 　 (1) 抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离 ， 等于 焦点到抛物线顶点的距离 . 牢记它对解题非常有益 . (2) 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，再正确选择抛物线标准方程 . (3) 在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，要注意相互转化 . 解答 解　 ∵ 抛物线关于 x 轴对称， ∴ 可设它的标准方程为 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0). ∵ 点 M 在抛物线上， 因此，所求抛物线的标准方程是 y 2 ＝ 4 x . (2) 已知 A ， B 是抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 上不同的两点， O 为坐标原点，若 OA ＝ OB ，且 △ AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F ，求直线 AB 的方程 . 解　 如图所示 . 设 A ( x 0 ， y 0 ) ，由 题意可知， B ( x 0 ，－ y 0 ). 则 AF ⊥ OB ， ∴ k AF · k OB ＝－ 1 ， 解答 解答 (1) 求该抛物线的方程； 与 y 2 ＝ 2 px 联立，从而有 4 x 2 － 5 px ＋ p 2 ＝ 0 ， 由抛物线定义得 AB ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 9 ，所以 p ＝ 4 ， 所以抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x . 解　 由 p ＝ 4,4 x 2 － 5 px ＋ p 2 ＝ 0 ，化简得 x 2 － 5 x ＋ 4 ＝ 0 ， 即 (2 λ － 1) 2 ＝ 4 λ ＋ 1 ，解得 λ ＝ 0 或 λ ＝ 2. 综上 λ ＝ 0 或 λ ＝ 2. 解答 解答 7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (8 ，－ 4) ， P (2 ， t )( t ＜ 0) 在抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 上 . (1) 求 p ， t 的值； 解　 将 点 A (8 ，－ 4) 代入 y 2 ＝ 2 px ，得 p ＝ 1. 所以抛物线的方程为 y 2 ＝ 2 x . 将点 P (2 ， t ) 代入 y 2 ＝ 2 x ，得 t ＝ ±2. 因为 t ＜ 0 ，所以 t ＝－ 2. (2) 过点 P 作 PM 垂直于 x 轴， M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B ，点 C 在直线 AM 上 . 若 PA ， PB ， PC 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 ，且 k 1 ＋ k 2 ＝ 2 k 3 ，求点 C 的坐标 . 解答 解　 依题意，点 M 的坐标为 (2,0) ， 8. 已知倾斜角 为 的 直线经过抛物线 Γ ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F ，与抛物线 Γ 相交于 A ， B 两点，且 AB ＝ 8. (1) 求抛物线 Γ 的方程； 解答 由 抛物线的定义得 AB ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 4 p ＝ 8 ， ∴ p ＝ 2. ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x . 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 p ， (2) 过点 P (12,8) 的两条直线 l 1 ， l 2 分别交抛物线 Γ 于点 C ， D 和 E ， G ，线段 CD 和 EG 的中点分别为 M ， N . 如果直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余，求证：直线 MN 经过一定点 . 证明 证明 　 设直线 l 1 ， l 2 的倾斜角分别为 α ， β ， 直线 l 1 的斜率为 k ，则 k ＝ tan α . ∵ 直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余， ∴ 直线 CD 的方程为 y － 8 ＝ k ( x － 12) ， 即 y ＝ k ( x － 12) ＋ 8 . 消去 x 整理得 ky 2 － 4 y ＋ 32 － 48 k ＝ 0 ， 设 C ( x C ， y C ) ， D ( x D ， y D ) ， 可得点 N 的坐标为 (12 ＋ 2 k 2 － 8 k ,2 k ) ， 显然当 x ＝ 10 时， y ＝ 0 ， 故直线 MN 经过定点 (10 ， 0). 高考押题冲刺练 (1) 求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值； 解答 解　 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， AD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥ AB ， PA ⊥ AD . 又 AD ⊥ AB ， 故分别以 AB ， AD ， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 . 设异面直线 BD ， PC 所成的角为 θ ， 解答 (2) 求二面角 A － PD － C 的余弦值 . 设平面 PCD 的一个法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 设二面角 A － PD － C 的大小为 φ ， 2.(2018· 江苏省泰州中学月考 ) 如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中 ，四边形 AA 1 C 1 C 是边长为 4 的正方形， AB ＝ 3 ， BC ＝ 5. ( 1) 求直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 所成角的正弦值； 解答 解　 如 图，以 A 为原点， AC ， AB ， AA 1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 A － xyz ， 则 B (0,3,0) ， A 1 (0,0,4) ， B 1 (0,3,4) ， C 1 (4,0,4). 设平面 B 1 BC 1 的法向量为 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 令 x ＝ 3 ，则 y ＝ 4 ，所以 m ＝ (3,4,0) ， 设直线 A 1 B 与平面 BB 1 C 1 所成的角为 α ， 解答 (2) 求二面角 A 1 － BC 1 － B 1 的余弦值； 解　 设 平面 A 1 BC 1 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 令 z ＝ 3 ，则 x ＝ 0 ， y ＝ 4 ，所以 n ＝ (0,4,3). 由 (1) 可得平面 B 1 BC 1 的法向量 m ＝ (3,4,0). 由图形知二面角 A 1 － BC 1 － B 1 为锐角， 解答 解　 设 D ( x ， y ， z ) 是线段 BC 1 上一点， 所以 ( x ， y － 3 ， z ) ＝ λ (4 ，－ 3,4) ， 解得 x ＝ 4 λ ， y ＝ 3 － 3 λ ， z ＝ 4 λ ， 所以在线段 BC 1 上存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ， 3. 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F ，直线 y ＝ 4 与 y 轴的交点为 P ，与抛物线 C 的交点为 Q ，且 QF ＝ 2 PQ . (1) 求 p 的值； 解答 解答 (2) 已知点 T ( t ，－ 2) 为 C 上一点， M ， N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN 的斜率之和 为 ， 证明直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标 . 解　 由 (1) 知， C 的方程为 y 2 ＝ 8 x ， 设直线 MN 的方程为 x ＝ my ＋ n ， 所以 y 1 ＋ y 2 ＝ 8 m ， y 1 y 2 ＝－ 8 n ， 解得 n ＝ m － 1 ， 所以直线 MN 的方程为 x ＋ 1 ＝ m ( y ＋ 1) ， 恒过定点 ( － 1 ，－ 1). 解答 (1) 求 MF ＋ NF 的值； 解　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 8 － p ， ∴ MF ＋ NF ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 8. 解答 (2) 若 p ＝ 2 ，直线 MN 与 x 轴交于点 B ，求点 B 横坐标的取值范围 . 解　 当 p ＝ 2 时， y 2 ＝ 4 x ， 若直线 MN 的斜率不存在，则 B (3,0) ； 若直线 MN 的斜率存在，设 A (3 ， t )( t ≠ 0) ， 得 y 2 － 2 ty ＋ 2 t 2 － 12 ＝ 0 ， 由 ( － 2 t ) 2 － 4(2 t 2 － 12)>0 ， 可得 0< t 2 <12 ， 综上，点 B 横坐标的取值范围是 ( － 3,3]. 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com