高中数学 1_2_1 几个常用的函数的导数同步练习 新人教A版选修2-2 6页

选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数 一、选择题 ‎1．下列结论不正确的是(　　)‎ A．若y＝0，则y′＝0‎ B．若y＝5x，则y′＝5‎ C．若y＝x－1，则y′＝－x－2‎ ‎ [答案]　D ‎2．若函数f(x)＝，则f′(1)等于(　　)‎ A．0　　　　 B．－　　　　‎ C．2　　　　 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　f′(x)＝()′＝，‎ 所以f′(1)＝＝，故应选D.‎ ‎3．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是(　　)‎ A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0‎ C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(x)＝x2，‎ ‎∴f′(2)＝li ＝li ＝1.‎ ‎∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.‎ ‎4．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝(　　)‎ A．0 B．3x2 ‎ C．8 D．12‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　f′(2)＝ ‎＝ ＝ (6Δx＋12)＝12，故选D.‎ ‎5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于(　　)‎ A．2 B．－2 ‎ C．3 D．－3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　若α＝2，则f(x)＝x2，‎ ‎∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.‎ ‎6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1‎ ‎∴＝ ‎＝4＋4Δx＋(Δx)2，‎ ‎∴y′|x＝1＝li ＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.‎ 故应选D.‎ ‎7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为(　　)‎ A．(－2，－8) B．(－1，－1)‎ C．(1,1) D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，‎ ‎∴x0＝1，∴y0＝x＝1，即P(1,1)，故应选C.‎ ‎8．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝‎2f′(1)x，∴f′(0)＝‎2f′(1)×0＝0.故应选A.‎ ‎9．曲线y＝上的点P(0,0)的切线方程为(　　)‎ A．y＝－x B．x＝0‎ C．y＝0 D．不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵y＝ ‎∴Δy＝－ ‎＝ ‎＝ ‎∴＝ ‎∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，‎ ‎∴切线方程为x＝0.‎ ‎10．质点作直线运动的方程是s＝，则质点在t＝3时的速度是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　Δs＝－＝ ‎＝ ‎＝ ‎∴li ＝＝，‎ ‎∴s′(3)＝ .故应选A.‎ 二、填空题 ‎11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为________．‎ ‎[答案]　某物体做瞬时速度为1的匀速运动 ‎[解析]　由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．‎ ‎12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________．‎ ‎[答案]　(2,4)‎ ‎[解析]　设切点坐标为(x0，x)，‎ 因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．‎ ‎13．过抛物线y＝x2上点A的切线的斜率为______________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵y＝x2，∴y′＝x ‎∴k＝×2＝.‎ ‎14．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．‎ ‎[答案]　21‎ ‎[解析]　∵y′＝2x，∴过点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.‎ 三、解答题 ‎15．过点P(－2,0)作曲线y＝的切线，求切线方程．‎ ‎[解析]　因为点P不在曲线y＝上，‎ 故设切点为Q(x0，)，∵y′＝，‎ ‎∴过点Q的切线斜率为：＝，∴x0＝2，‎ ‎∴切线方程为：y－＝(x－2)，‎ 即：x－2y＋2＝0.‎ ‎16．质点的运动方程为s＝，求质点在第几秒的速度为－.‎ ‎[解析]　∵s＝，‎ ‎∴Δs＝－ ‎＝＝ ‎∴li ＝＝－.∴－＝－，∴t＝4.‎ 即质点在第4秒的速度为－.‎ ‎17．已知曲线y＝.‎ ‎(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；‎ ‎(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．‎ ‎[解析]　∵y＝，∴y′＝－.‎ ‎(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．‎ 即k＝f′(1)＝－1.‎ 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.‎ ‎(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．‎ 则可设过该点的切线的切点为A，‎ 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.‎ 则切线方程为y－＝－(x－a)．①‎ 将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)．‎ 解得a＝，代回方程①整理可得：‎ 切线方程为y＝－4x＋4.‎ ‎(3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入点斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切线方程为y＝－x＋或y＝－x－.‎ ‎18．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．‎ ‎[解析]　两曲线方程联立得解得.‎ ‎∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，‎ ‎∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．‎ ‎∴S＝×1×＝.‎ ‎ ‎