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- 2021-06-19 发布
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高中数学人教A版选2-1 同步练习
已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：选C.把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．0m，则≥1，
若50，n>0且m≠n)上两点，且＝λ ，则λ＝__________．
解析：由＝λ 知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.
答案：－1
(2012·泰安质检)椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0 所截得的弦长|AB|＝__________．
解析：由得交点为(0，1)，，
则|AB|＝ ＝.
答案：
[A级 基础达标]
(2012·青岛调研)点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：
选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝.
∵＝2，
又BF∥OP，
∴a＝2c，
∴＝.
直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是__________．
解析：由＋＝1得－2≤y≤2，
∴－20，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由⊥，得x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1
＝.
由＝0，得k＝±，此时⊥.
当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.
||＝＝，
而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2
＝＋4×＝，
所以||＝.
[B级 能力提升]
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，1) B.
C. D.
解析：选C.由题意知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2 .
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
其中c＝.
联立
得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2 ，所以－y1＝2y2.
即＝2·.
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝得b＝a，
所以a＝，得a＝3，b＝.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
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