2018届二轮复习 直线与圆、圆与圆 学案（ 江苏专用） 7页

专题10：直线与圆、圆与圆（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1．已知过定点P(1，2)的直线l交圆O：x2＋y2＝9于A，B两点，若AB＝4，则直线l的方程为 ； 当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为 ．‎ 答案：x＝1或3x－4y＋5＝0；x＋2y－5＝0．‎ ‎2．过点P(1，0)作圆C： (x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为 ； 切线段PA长为 ；直线AB的方程为 ．‎ 答案：x＝1或5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0．‎ ‎3．圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)上恰好存在2个点，它到直线y＝x－2上的距离为1，则R的取值范围为 ．‎ 答案：1＜R＜3．‎ ‎4．经过三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 ．‎ 答案：x2＋y2－6x－2y＋5＝0．‎ ‎5．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数m的取值范围为 ．‎ 答案：－5＜m＜－2或－1＜m＜2．‎ ‎6．已知圆O1：x2＋y2－4x－2y－4＝0，圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．‎ 答案：4．‎ ‎7．经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程为 ．‎ 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝5．‎ 二、方法联想 ‎1．相交弦问题 ‎1．圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式．‎ 如：()2＋d2＝R2，d＝Rcos，＝Rsin．（都可由垂径定理推导出）‎ ‎2．相交弦的垂直平分线过圆心．‎ ‎3．过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直．‎ 变式：(1)直线l1：y＝kx＋3与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的的取值范围是________． ‎ 答案： [－,]　(已知弦长范围，求参数取值范围)‎ ‎ (2)过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________． ‎ 答案：x±3y＋4＝0　(已知弦的性质，求直线方程)‎ ‎ (3)已知直线l：mx＋y＋‎3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线交x轴于C，D两点，若AB＝2，则CD＝ ． ‎ 答案：4(已知弦长，求直线方程及有关量的取值)‎ ‎(4)在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA＝2AB，则半径r的取值范围是________．‎ 答案：[5，55] (弦长的最值问题)‎ ‎2．相切问题 ‎1．位置判断：方法1：利用d＝r；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直；方法3：直线方程与圆方程联立只有一解．‎ ‎2．如图，当圆外一点引两条切线时，在Rt△PAC 中，切线长PA＝；‎ ‎ 1．P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径；‎ ‎ 2．两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．‎ ‎ 3．PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB．‎ 变式：(1)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． ‎ 答案：(x－1)2＋y2＝2．(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值) ‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是________．‎ 答案：[,2)(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)‎ ‎(3) 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．‎ 答案：[1，5]　(∠BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题)‎ C B ‎ A ‎ ‎3．圆上点到直线距离问题 ‎(1)当直线与圆相离时，如图：‎ ‎ 圆上点到直线距离，在点A处取到最大值d＋R，在点B取到最小值d－R．‎ ‎(2)当直线与圆相交时，如图：‎ ‎ 优弧上点到直线距离，在点A取到最大值d＋R，‎ C B ‎ A ‎ 劣弧上点到直线距离，在点B取到最大值R－d．‎ ‎4．外接圆问题 方法1：三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F．‎ 方法2三角形两边的垂直平分线交点为圆心．‎ 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．‎ 优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径．‎ 变式：(1)平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，则C的方程是________．‎ 答案： x2＋y2＋2x－( b＋1) y＋b＝0 (设而不求法求外接圆方程) ‎ ‎(2)已知圆O：x2＋y2＝4，点M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O交于A，B 两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为________．‎ 答案：π(求外接圆半径的最值)‎ ‎5．两圆位置关系问题 位置关系 d与r1，r2的关系 公切线条数 外离 d＞r1＋r2‎ ‎4‎ 外切 d＝r1＋r2‎ ‎3‎ 相交 ‎|r1－r2|＜d＜r1＋r2‎ ‎2‎ 内切 d＝|r1－r2|‎ ‎1‎ 内含 ‎0＜d＜|r1－r2|‎ ‎0‎ ‎6．两圆相交问题 ‎ (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．‎ ‎(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．‎ ‎7．两圆相切问题 ‎ 两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点．‎ 变式：(1)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．‎ 答案：[－,＋∞) (已知两圆位置关系，求参数取值范围)‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．‎ 答案： (－,4) (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) ‎ 三、例题分析 例1 如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M、x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D．‎ x O C B D N M A y ‎(1)求圆M和圆N的方程；‎ ‎(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．‎ 答案：(1)⊙M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1，‎ ‎⊙N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9．‎ ‎(2) ．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法： ‎ ‎1．直线与圆相切问题：①d＝r；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．‎ ‎2．当圆外一点引两条切线问题，如图，①P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为圆的直径；②两圆的方程相减可得切点弦的直线方程；③PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB．‎ ‎3．圆与圆的位置关系问题：①圆心距与两圆半径关系．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法①；‎ 对于问题2，因为需求圆心所在直线方程，所以选择方法③．‎ 对于问题3，学生一般判断圆心距与两圆半径关系．但由图知Rt△OAM∽Rt△OCN，所以OM：ON＝MA：NC，即＝更简洁．‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ ‎1．求切点坐标：①切线方程与圆联立求交点；②求出过圆心与切线垂直的直线，再与切线方程联立求交点．‎ ‎2．弦长问题：①弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式；②直线与圆方程联立，利用韦达定理求弦长．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，因为两直线求交点简单，所以选择方法②．‎ 对于问题2，因为涉及圆的弦长，而不是椭圆的弦长，所以选择方法①．‎ 对于问题2，因为图形中具有对称性，故可求过A且与直线MN平行的直线，圆N截得的弦的长度．‎ 例2 如图，已知椭圆C：＋y2＝1的长轴为AB，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A，B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：Q点在以AB为直径的圆上；‎ ‎(2)试判断直线QN与以AB为直径的圆位置关系．‎ 答案：(1)略；‎ ‎(2)相切．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．一个点在椭圆上问题：①设P点代入椭圆方程；②求P点代入椭圆方程．‎ ‎2．点Q在以AB为直径的圆上问题：①求出圆的方程，将Q代入；②OQ＝AB；③·＝0．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，方法①和②均可．‎ 对于问题2，三种方法均可，但在A、B、Q的坐标比较复杂时，优先使用方法③．‎ ‎（2）〖教学建议〗‎ 主要问题归类与方法：‎ ‎1．直线与圆的位置关系问题：①d与r关系；②通过△判断；③直线是否经过定点，判断定点与圆的位置关系．‎ ‎2．直线与圆相切问题：①d＝r；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，在直线与圆的位置关系中一般不使用△判断．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，即求出QN的方程，再求O到QN的距离．‎ 因为点Q一定在圆上，所以问题转化为判断是否相切问题，从而选择方法②．‎ 例3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ x y A l O ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ 答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0；‎ ‎(2)a的取值范围为[0，]．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．直线与圆相切问题：①d＝r；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，因为没有切点坐标，所以选择方法①．‎ ‎（2）主要问题归类与方法：‎ ‎1．求轨迹方程问题：①定义法；②直接法；③相关点法；④参数法．‎ ‎2．两曲线交点问题：①联立方程组消元判断解的个数（代数法）；②结合两曲线图形分析（几何法）．‎ ‎3．圆与圆的位置关系问题：①判断圆心距与两圆半径关系．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生比较容易选择方法②，教师要分析为什么不选择①，③，④，即各自适用的特征．‎ 对于问题2，学生容易选择设M坐标为（x0，y0），采用方法①，联立两个方程消元求解．因为两曲线为圆，所以选择方法②，即几何法．‎ 四、反馈练习 ‎1．过点P(1，3)作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为A，B，则tan∠APB＝ ．‎ 答案： ‎(考查直线与圆相切，倍角公式)‎ ‎2．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为 .．‎ 答案：2 ‎(考查：直线与圆相交最长弦、最短弦)‎ ‎3．过点(a，1)的直线和圆x2＋y2－x－y＝0总有公共点，则实数a的取值范围是 .．‎ 答案：[0，1] ‎ ‎(考查：点和圆的位置关系)‎ ‎4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点，若存在一个定圆M，过点P做圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当点P在圆C上运动时，∠APB恒为60°，则圆M方程为 .．‎ 答案：(x－1)2＋y2＝1‎ ‎(考查内容：过圆外一点的两条切线，点的轨迹) ‎ ‎5．已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆 C的一条切线，切点为B，则AB＝ ．‎ 答案：6‎ ‎(考查：直线与圆的关系，切线长的计算)‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．‎ 答案：．‎ ‎（考查：直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系）‎ ‎7．对于给定的正实数k，函数f(x)＝的图像上存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同点到原点的距离为2，则实数k的取值范围是 .．‎ 答案：(0，)‎ ‎(考查：考查圆和圆的位置关系，基本不等式)‎ ‎8．在△ABC中，若AB＝2，AC＝BC，则△ABC面积的最大值为 .‎ 答案：2 ‎(考查：点的轨迹，阿波罗尼斯圆，解三角形)‎ ‎9．直线ax＋y－2＝0和圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则a＝ ．‎ 答案：4± ‎(考查： 直线与圆的位置关系)‎ ‎10．已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P交圆C于A，B两点，若△ABC面积最大值为16，则实数m的取值范围是 .．‎ 答案：(－3－2，－3－2]∪[－3＋2，－3＋2)‎ ‎(考查：直线与圆的位置关系)‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r为常数，0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P，Q． ‎ ‎（1）若r＝2，点M(4，2)，求直线PQ的方程；‎ ‎（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．‎ 答案：（1）2x－y－2＝0（2）(，0) ‎ ‎(考查求直线与圆相交求交点，直线过定点)‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－4，0)，F2(4，0)，A(0，8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于P，Q，过点Q做直线QR∥AF1交F‎1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．‎ ‎（1）求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；‎ ‎（2）圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该定点坐标，若不过请说明理由．‎ 答案：（1）圆心坐标为(－，－2) （2）(，)‎ ‎(考查用待定系数法求圆的方程，动曲线过定点)‎ ‎13．已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆的圆心为H．‎ ‎（1）若直线l过点C且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．‎ 答案：(1)x＝3或4x－3y－6＝0（2）(，)‎ ‎(考查直线与圆相交的弦长计算，圆和圆的位置关系)‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为．‎ ‎（1）求圆O的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；‎ ‎（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，直线MP，NP分别交x轴于点(m，0)，(n，0)，问mn是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．‎ 答案：（1）x2＋y2＝2（2）x＋y－2＝0(3)2‎ ‎(考查直线和圆相交、相切和基本不等式)‎