数学理·江苏省连云港市灌南县华侨高中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷+Word版含解析x 11页

‎2016-2017学年江苏省连云港市灌南县华侨高中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，共70分）：‎ ‎1．已知数列1，，，，…的一个通项公式是an=　　．‎ ‎2．不等式x2﹣2x＜0的解集为　　．‎ ‎3．已知等差数列{an}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a=　　．‎ ‎4．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an（n∈N*），则an=　　．‎ ‎5．已知x是4和16的等差中项，则x=　　．‎ ‎6．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是　　．‎ ‎7．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a2=4，a9+a10=36，则S10=　　．‎ ‎8．在等比数列{an}中，a3=2，a5=8，则a7=　　．‎ ‎9．如图矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　　．‎ ‎10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为　　．‎ ‎11．等比数列{an}的前n项和Sn=a•2n+a﹣2，则a=　　．‎ ‎12．如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n个图，用an表示第n个图形的边数，则数列an的前n项和Sn等于　　．‎ ‎13．关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎14．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共70分，第15，16题各14分，第17，18题各15分，第19，20题各16分）：‎ ‎15．（1）在等差数列{an}中，已知d=2，n=15，an=﹣10，求a1及Sn；‎ ‎（2）在等比数列{an}中，已知a2+a3=6，a3+a4=12，求q及S10．‎ ‎16．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）解不等式ax2﹣（a+b）x+b＜0．‎ ‎17．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎（1）两数之和为5的概率；‎ ‎（2）两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．‎ ‎18．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？‎ ‎19．在正项等比数列{an}中，a1=4，a3=64．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）记bn=log4an，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）记y=﹣λ2+4λ﹣m，对于（2）中的Sn，不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎20．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省连云港市灌南县华侨高中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，共70分）：‎ ‎1．已知数列1，，，，…的一个通项公式是an=　　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】数列1，，，，…的分母是相应项数的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：∵数列1，，，，…的分母是相应项序号的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列 ‎∴数列1，，，，…的一个通项公式是an=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎2．不等式x2﹣2x＜0的解集为　{x|0＜x＜2}　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把原不等式的左边分解因式，再求出不等式的解集来．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣2x＜0可化为 x（x﹣2）＜0，‎ 解得：0＜x＜2；‎ ‎∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．‎ 故答案为：{x|0＜x＜2}．‎ ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a=　　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{an}的前三项，直接利用等差中项的概念列式计算a的值．‎ ‎【解答】解：因为a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{an}的前三项，‎ 所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎4．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an（n∈N*），则an=　2n﹣1　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=2an（n∈N*），‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2．‎ ‎∴．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎5．已知x是4和16的等差中项，则x=　10　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差中项的定义可得 x==10，解方程求得x 的值．‎ ‎【解答】解：根据等差中项的定义可得 x==10，‎ 故答案为10．‎ ‎　‎ ‎6．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】所哟的取法有=6种方法，用列举法求得满足条件的取法有3种，由此求得所求事件的概率．‎ ‎【解答】解：在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，共有=6种方法，‎ 其中，满足其和大于积的取法有：（1，2）、（1，3）、（1，4）共三种，‎ 故其和大于积的概率是 =，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎7．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a2=4，a9+a10=36，则S10=　100　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先根据a1+a2=4，a9+a10=36可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2=4，a9+a10=36，‎ ‎∴a1+a2+a9+a10=2（a1+a10）=4+36=40‎ ‎∴a1+a10=20，‎ ‎∴S10===100，‎ 故答案为：100‎ ‎　‎ ‎8．在等比数列{an}中，a3=2，a5=8，则a7=　32　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列{an}的性质可得： =a3a7，即可得出．‎ ‎【解答】解：由等比数列{an}的性质可得： =a3a7，‎ ‎∴=32．‎ 故答案为：32．‎ ‎　‎ ‎9．如图矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　6　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为10，设阴影部分的面积为S 则有 ‎∴S=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为　　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，‎ ‎∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），‎ 解．‎ 故答案为 ‎　‎ ‎11．等比数列{an}的前n项和Sn=a•2n+a﹣2，则a=　1　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的前n项和公式求出该数列的前三项，由此利用，能求出a．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和，‎ ‎∴a1=S1=2a+a﹣2=3a﹣2，‎ a2=S2﹣S1=（4a+a﹣2）﹣（3a﹣2）=2a，‎ a3=（8a+a﹣2）﹣（4a+a﹣2）=4a，‎ ‎∵，‎ ‎∴（2a）2=（3a﹣2）×4a，‎ 解得a=0（舍）或a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎12．如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n个图，用an表示第n个图形的边数，则数列an的前n项和Sn等于　4n﹣1　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据图形得到，a1=3，a2=12，a3=48，由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即，由等比数列的定义知：an=3×4n﹣1，于是根据等比数列前n项和公式即可求解 ‎【解答】解：∵a1=3，a2=12，a3=48‎ 由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即，‎ 由等比数列的定义知：an=3×4n﹣1‎ ‎∴Sn==4n﹣1‎ 故答案为：4n﹣1‎ ‎　‎ ‎13．关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则实数k的取值范围是　[0，4）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】由关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，知k=0，或，由此能求出实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，‎ ‎∴k=0，或，‎ 解得0≤k＜4．‎ 故答案为：[0，4）．‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为　（﹣3，+∞）　．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】数列{an}是单调递增数列，可得∀n∈N*，an+1＞an，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是单调递增数列，‎ ‎∴∀n∈N*，an+1＞an，‎ ‎（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，‎ 化为：b＞﹣（2n+1），‎ ‎∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，‎ ‎∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，‎ ‎∴b＞﹣3．‎ 即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．‎ 故答案为：（﹣3，+∞）．‎ ‎　‎ 二、解答题（共70分，第15，16题各14分，第17，18题各15分，第19，20题各16分）：‎ ‎15．（1）在等差数列{an}中，已知d=2，n=15，an=﹣10，求a1及Sn；‎ ‎（2）在等比数列{an}中，已知a2+a3=6，a3+a4=12，求q及S10．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）根据条件和等差数列的通项公式列出方程，求出a1的值，代入等差数列的前n和项公式求出Sn；‎ ‎（2）根据条件和等比数列的通项公式列出方程组，求出a1和q的值，代入等比数列的前n和项公式求出S10．‎ ‎【解答】解：（1）∵d=2，n=15，an=﹣10，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=a1+14×2=﹣10，‎ 解得a1=﹣38，‎ ‎∴Sn===﹣360； …‎ ‎（2）∵a2+a3=6，a3+a4=12，‎ ‎∴，解得a1=1，q=2，‎ ‎∴S10===1023…‎ ‎　‎ ‎16．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）解不等式ax2﹣（a+b）x+b＜0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意得到1、b为方程ax2﹣3x+2=0的两根，且b＞1，a＞0，然后将两根代入方程建立方程组，解之即可；‎ ‎（2）将a与b的值代入不等式，因式分解，结合二次不等式的解法可求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎∴1、b为方程ax2﹣3x+2=0的两根，且b＞1，a＞0．‎ ‎∴，‎ 解得a=1，b=2（b=1舍去）．…9′‎ ‎（2）∵a=1，b=2‎ ‎∴原不等式即为x2﹣3x+2＜0即（x﹣1）（x﹣2）＜0‎ ‎∴1＜x＜2．…13′‎ 不等式ax2﹣（a+b）x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}‎ ‎　‎ ‎17．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎（1）两数之和为5的概率；‎ ‎（2）两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，而满足两数之和为5的事件数通过列举是4个，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎（2）两数中至少有一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件来，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．‎ ‎（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，然后根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：设（x，y）表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2）…，（6，5），（6，6），共36个基本事件．‎ ‎（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，分别为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）‎ 所以P（A）==．‎ 答：两数之和为5的概率为．‎ ‎（2）记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，而事件“两数均为偶数”含有9个基本事件 所以P（B）=1﹣=‎ 答：两数中至少有一个为奇数的概率为．‎ ‎（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，分别为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）‎ 所以P（C）=．‎ 答：点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率为．‎ ‎　‎ ‎18．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由于本题只需要制定出定价策略，因此可避免设出函数y列出分段函数的解析式，只需列出在条件定价x≥15下的式子，日销售量减少2（x﹣15）盏，日销售收入x[30﹣2（x﹣15）]，进而列出不等关系，求解不等式即可．‎ ‎【解答】解：设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30﹣2（x﹣15）]，由题意当x≥15时有x[30﹣2（x﹣15）]＞400，解得：‎ ‎ 15≤x＜20，所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格售价在x∈[15，20）．‎ ‎　‎ ‎19．在正项等比数列{an}中，a1=4，a3=64．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）记bn=log4an，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）记y=﹣λ2+4λ﹣m，对于（2）中的Sn，不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由a1=4，a3=64可求公比，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由于bn=log4an=n，所以数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列，故可求和；‎ ‎（3）先求得Sn取得最小值Smin=1，要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1，分离参数得m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，故可求参数的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵，解得q=4或q=﹣4（舍去）∴q=4…∴an=a1qn﹣1=4×4n﹣1=4n… （q=﹣4没有舍去的得2分）‎ ‎（2）∵bn=log4an=n，…∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列∴…‎ ‎（3）由（2）知，，‎ 当n=1时，Sn取得最小值Smin=1…‎ 要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1‎ 即对任意实数λ，m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，∵﹣λ2+4λ﹣1=﹣（λ﹣2）2+3≤3，‎ 所以m≥3，‎ 故m得取值范围是[3，+∞）．…‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项 ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∵b1=a1=3，b2=a4=9，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知：an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，单调递减，得，‎ 而，‎ 所以不存在k∈N*，使得等式成立．‎ ‎　‎ ‎2016年11月15日