2021高考数学一轮复习课后限时集训37不等式的性质与一元二次不等式理北师大版 6页

1 课后限时集训 37 不等式的性质与一元二次不等式 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．已知 R 是实数集，集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝ x| x－6 2x－1 ≥0 ，则 A∩(∁ RB)＝ ( ) A.(1,6) B.[－1,2] C. 1 2 ，2 D. 1 2 ，2 C [由 x2－x－2≤0 可得 A＝{x|－1≤x≤2}．由 x－6 2x－1 ≥0 得 x－6 2x－1 ≥0， 2x－1≠0， 所以 B＝ x|x＜1 2 或 x≥6 ， 所以∁ RB＝ x|1 2 ≤x＜6 ，所以 A∩(∁ RB)＝ x|1 2 ≤x≤2 .故选 C.] 2．(2019·吉林模拟)若 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则下列命题中正确的是 ( ) A.ac2＜bc2 B.a2＞ab＞b2 C.1 a ＜1 b D.b a ＞a b B [法一：(直接法)A 选项，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故不正确；B 选项，∵a＜b＜0，∴ a2＞ab，且 ab＞b2， ∴a2＞ab＞b2，故 B 正确；C 选项，∵a＜b＜0，∴1 a －1 b ＝b－a ab ＞0，∴1 a ＞1 b ，故错误； D 选项，∵a＜b＜0，∴b a －a b ＝b2－a2 ab ＝ a＋b b－a ab ＜0，∴b a ＜a b ，故错误．故选 B. 法二：(特值排除法)取 a＝－2，b＝－1，c＝0 易知 A、C、D 全错误，故选 B.] 3．不等式 2x2－4x＞22ax＋a 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．(1,4) B．(－4，－1) C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞) 2 D．(－∞，1)∪(4，＋∞) B [∵不等式 2x2－4x＞22ax＋a 对一切实数 x 都成立， ∴x2－4x>2ax＋a 对一切实数 x 都成立，即 x2－(4＋2a)x－a>0 对一切实数 x 都成立． ∴Δ＝(4＋2a)2－4×(－a)<0，即 a2＋5a＋4<0. ∴－40，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．[1，＋∞) B. 1 2 ，1 C. 1 2 ，＋∞ D. 1 2 ，＋∞ D [∵对任意的 x∈(1,4)，都有 f(x)＝ax2 －2x＋2>0 恒成立，∴a>2 x－1 x2 ＝ 2 1 4 － 1 x －1 2 2 ，对任意的 x∈(1,4)恒成立， ∵1 4 <1 x <1，∴2 1 4 － 1 x －1 2 2 ∈ 0，1 2 ， ∴实数 a 的取值范围是 1 2 ，＋∞ .] 5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4,3]的子集， 则 a 的取值范围是( ) A．[－4,1] B．[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] B [原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a,1]，此时只要 a≥－ 4 即可，即－4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当 a>1 时，不等式 的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可， 即 10，则a b2＋b a2与1 a ＋1 b 的大小关系是________． a b2＋b a2≥1 a ＋1 b [a b2＋b a2－ 1 a ＋1 b ＝a－b b2 ＋b－a a2 ＝(a－b)· 1 b2－1 a2 ＝ a＋b a－b 2 a2b2 . 3 ∵a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴ a＋b a－b 2 a2b2 ≥0.即a b2＋b a2≥1 a ＋1 b .] 7．已知 10 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是________． －23 5 ，＋∞ [法一：由Δ＝a2＋8>0 知方程恒有两个不等实根，又 因为 x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的 示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0，解得 a>－23 5 . 法二：原题即转化为 a＞－x＋2 x 在[1,5]上有解，设－x＋2 x ＝f(x)，即 a＞f(x)min，f(x) ＝－x＋2 x 在[1,5]上是减函数， ∴a＞f(5)＝－23 5 .] 三、解答题 9．已知 f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式 f(x)＜0 的解集是(0,5)． (1)求 f(x)的解析式； (2)若对于任意的 x∈[－1,1]，不等式 f(x)＋t≤2 恒成立，求 t 的取值范围． [解] (1)由题意可知，0,5 是 f(x)＝0 的两个实数根， ∴ 0＋5＝－b 2 ， 5×0＝c 2 ， ∴ b＝－10， c＝0， 即 f(x)＝2x2－10x. (2)由(1)可知不等式 2x2－10x＋t≤2 对任意 x∈[－1,1]恒成立． 即 2x2－10x＋t－2≤0 在[－1,1]上恒成立， ∴ 2＋10＋t－2≤0， 2－10＋t－2≤0， ∴ t≤－10， t≤10， ∴t≤－10. 4 即 t 的取值范围为(－∞，－10]． 10．甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可 获得的利润是 100· 5x＋1－3 x 元． (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求 最大利润． [解] (1)根据题意得 200 5x＋1－3 x ≥3 000，整理得 5x－14－3 x ≥0，即 5x2－14x－ 3≥0，又 1≤x≤10，可解得 3≤x≤10，故要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为 y 元，则 y＝900 x ·100 5x＋1－3 x ＝9×104 5＋1 x －3 x2 ＝9×104 －3 1 x －1 6 2＋61 12 ， 故 x＝6 时，ymax＝457 500 元，即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获 得的利润最大，最大利润为 457 500 元． 1．已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( ) A.1 x －1 y >0 B．sin x－sin y>0 C. 1 2 x－ 1 2 y<0 D．ln x＋ln y>0 C [选项 A 中，因为 x>y>0，所以1 x <1 y ，即1 x －1 y <0，故结论不成立；选项 B 中，当 x＝5π 6 ， y＝π 3 时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项 C 中，函数 y＝ 1 2 x 是定义在 R 上的减函数， 因为 x>y>0，所以 1 2 x＜ 1 2 y，所以 1 2 x－ 1 2 y<0；选项 D 中，当 x＝e－1，y＝e－2 时，结论不 成立．] 2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1 有唯一解，则 a 的值为________． 1± 5 2 [由题意可知，方程 x2－2ax＋a＝－1 有唯一解， 5 ∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即 a＝1± 5 2 .] 3．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x) ＜c 的解集为(m，m＋6)，则实数 c 的值为________． 9 [由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b＝ x＋a 2 2＋b－a2 4 . 因为 f(x)的值域为[0，＋∞)，所以 b－a2 4 ＝0，即 b＝a2 4 . 所以 f(x)＝ x＋a 2 2. 又 f(x)＜c，所以 x＋a 2 2＜c，即－a 2 － c＜x＜－a 2 ＋ c. 所以 －a 2 － c＝m，① －a 2 ＋ c＝m＋6.② ②－①，得 2 c＝6，所以 c＝9.] 4．已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若 a＝2，试求函数 y＝f x x (x>0)的最小值； (2)对于任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求 a 的取值范围． [解] (1)当 a＝2 时，依题意得 y＝f x x ＝x2－4x＋1 x ＝x＋1 x －4.因为 x>0，所以 x＋ 1 x ≥2， 当且仅当 x＝1 x 时，即 x＝1 时，等号成立，所以 y≥－2. 所以当 x＝1 时，y＝f x x 的最小值为－2. (2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使得“任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立”只要“x2－2ax－1≤0 在[0,2] 上恒成立”． 不妨设 g(x)＝x2－2ax－1， 则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可，所以 g 0≤ 0， g 2≤ 0， 6 即 0－0－1≤0， 4－4a－1≤0， 解得 a≥3 4 ， 则 a 的取值范围为 3 4 ，＋∞ . 1．(2019·福州模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若 f(x)＜0 的解集为(－1， m)，则下列说法正确的是( ) A．f(m－1)＜0 B．f(m－1)＞0 C．f(m－1)必与 m 同号 D．f(m－1)必与 m 异号 D [∵f(x)＜0 的解集为(－1，m)， ∴－1，m 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且 a＞0. ∴f(x)＝a(x＋1)(x－m)． ∴f(m－1)＝－am 与 m 必异号． 故选 D.] 2．(2019·河南中原名校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x>0 时，f(x)＝x2 －2x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________． (－3,0)∪(3，＋∞) [设 x<0，则－x>0， 因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)． 又 f(0)＝0.于是不等式 f(x)>x 等价于 x＞0， x2－2x＞x 或 x＜0， －x2－2x＞x， 解得 x>3 或－3