2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题10 解析几何（练）（解析版） 14页

专题10 解析几何 ‎1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦 定理得，解得．‎ 所求椭圆方程为，故选B．‎ 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．‎ 所求椭圆方程为，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．‎ ‎2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为 A． B． ‎ C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即．，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．‎ ‎4．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )‎ A．① B．②‎ C．①② D．①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，，，‎ 所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得 ‎，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C. ‎ ‎【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，‎ 又，解得，，解得(舍去)，的坐标为．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.‎ ‎6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C 的离心率为____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，得又，‎ ‎∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．‎ ‎【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.‎ ‎7、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.‎ ‎(i)证明：是直角三角形；(ii)求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2).‎ ‎【解析】(1)由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．‎ ‎(2)(i)设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．‎ 记，则．于是直线的斜率为，方程为．‎ 由得．①，设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．‎ 所以，即是直角三角形．‎ ‎(ii)由(i)得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞)单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．‎ 因此，△PQG面积的最大值为．‎ ‎【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.‎ ‎1、已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)‎ A．　 B． C．3　 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解。设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2。由r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，得r1＝a1＋a2，r2＝a1－a2，所以＋＝＝。令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，所以max＝，即＋的最大值为。故选A。‎ ‎2、设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)‎ A．9,12　 B．8,11‎ C．8,12　 D．10,12‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8,12。故选C。‎ ‎3、已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)‎ A．12　 B．24　‎ C．16　 D．32‎ ‎【答案】D ‎【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，所以y＋y＝32。当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)，由得ky2－4y－16k＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－16，所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32，综上可知，y＋y≥32。所以y＋y的最小值为32。‎ ‎4．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意知a≠0。因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，所以－·＝－1，‎ ab＝(b>0)，ab≥＝2，当且仅当b＝1时取等号，所以ab的最小值等于2。‎ ‎5、若直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当△AOB的面积取最小值时，直线l的方程为_____________。‎ ‎【答案】x－2y＋4＝0。‎ ‎【解析】由l的方程，得A，B(0,1＋2k)。依题意，得解得k>0。因为S＝·|OA|·|OB|＝·|·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0。‎ ‎6、已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，M为平面内一点，||＝1，且·＝0，则||的最小值为_____________。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，因为·＝0且P在椭圆上运动，所以PM⊥AM，即PM为圆A的切线，连接PA(如图)，则||＝＝，所以当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝。‎ ‎7、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为_____________。‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】根据双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8。因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当AB垂直实轴时，|AB|最小，所以|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥＋8＝10。‎ ‎8、已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________。‎ ‎【答案】－≤m≤。‎ ‎【解析】由题意可知，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－ ‎，所以－≤－2或－≥，解得0b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝。‎ ‎(1)求椭圆C的方程。‎ ‎(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点。求△PAB面积的最大值。‎ ‎【解析】 (1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2。又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，‎ 所以＋＝1。所以a2＝8，b2＝2。故所求椭圆的方程为＋＝1。‎ ‎(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0。‎ 因为Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2。所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4。‎ 则|AB|＝×＝。点P到直线l的距离d＝＝。‎ 所以S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2。‎ 当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值。‎ ‎1．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学(二)】经过点作圆的切线，则的方程为 A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】，所以圆心坐标为，半径为，‎ 当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，即切线方程为，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线.，因此切线方程为，故本题选C.‎ ‎【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线存在斜率，点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，再讨论直线不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程.‎ ‎2．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆 的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为 A．8 B．6‎ C．5 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆的离心率：，椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，可得：，，，则椭圆短轴长为.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出，然后求解椭圆短轴长即可．‎ ‎3．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆(a＞b＞0)与双曲线(a＞0，b＞0)的焦点相同，则双曲线渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意椭圆与双曲线的焦点相同，可得：，即，∴，可得，∴双曲线的渐近线方程为：，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解答本题时，由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.‎ ‎4．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为()‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.‎ 由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得：，‎ ‎，解得：，本题正确选项为B. ‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程，从而使问题得以解决.‎ ‎5．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，‎ 由余弦定理可得，，由双曲线的定义可得，，即，解得：.‎ ‎【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.解答本题时，根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.‎ ‎6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆的左顶点为，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】(1)由题意可得：，，得，则.所以椭圆.‎ ‎(2)当直线与轴重合时，不妨取，此时；‎ 当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，‎ 联立得，显然，，.‎ 所以 ‎.‎ 当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又，所以的面积.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程.(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积.‎ ‎7．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试数学试题】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】(1)4；(2)证明过程见解析，直线恒过定点.‎ ‎【解析】(1)设，由抛物线定义知，又，，‎ 所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.‎ ‎(2)由(1)知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，‎ 点，，由 得，.‎ 所以，，所以 ‎，解得，所以直线的方程为，恒过定点．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎(1)设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；‎ ‎(2)，，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.‎