专题2-7 几何体与球切、接的问题（练）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测 8页

‎2018年高三二轮复习讲练测之练案【新课标理科数学】‎ 练---精准到位 热点七 几何体与球切、接的问题 ‎1.练高考 ‎1.【2017课标3，文理】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎2. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ ‎3.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎ ‎【考点】球的表面积 ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程 (组)求解.‎ ‎4.【2017江苏，6】 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 .‎ O O1‎ O2‎ ‎(第6题)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎5.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，连接 因为 所以 因为平面平面 所以平面 设 所以，所以球的表面积为 ‎6.【2017天津，文理】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体边长为 ，则 ，‎ 外接球直径为.‎ ‎2.练模拟 ‎1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2.【2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次】已知三棱锥的两个顶点均在某球面上， ‎ 为该球的直径， 是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设D为外接圆圆心，则三棱锥的外接球球心O满足垂直平面ABC，所以 ,选D. ‎ ‎3.【河南省师范大学附属中学2015届高三12月月考】已知四面体中，，，，平面，则四面体的外接球体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎4.【2018届河北省张家口市高三上学期期末】体积为的正方体内有一个体积为的球，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使球的体积最大，则球为正方体的内切球， 正方体的体积为， 正方体的棱长为， 内切球的半径为，体积为，故选D.‎ ‎5．面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为 ，记球的体积为，球的表面积为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 设正六边形的边长为，则，∴球的半径，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎6.【2018届江西省赣州市高三上学期期末】中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，且平面， ，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为外接球的表面积为，所以 ,将鳖臑补成长方体,长宽高为3,3,h，则鳖臑的外接球直径为长方体对角线,即 ‎ ‎3.练原创 ‎1. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎【答案】A ‎【解析】原几何体是一个棱长为的正四面体，可以看做是一个棱长为1的正方体截去四个角后余下的几何体，其外接球与正方体的外接球相同，故其直径为2R＝，表面积为S＝4πR2＝(2R)2π＝3π.选A ‎2.已知四面体中, ，，,平面PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图1，由已知及勾股定理得，为等边三角形，为等腰三角形.所以，，‎ 表面积，‎ 设内切球半径为，，所以，，；‎ 如图2，所在的小圆的直径因此大圆直径故内切球半径与外接球半径的比为，选.‎ ‎3.如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 所以 所以圆弧长等于 所以两段圆弧之和为 故答案选 ‎4.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，又，则球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得：三棱锥为棱长为1的正方体内一个三棱锥，所以球为正方体的外接球，直径为正方体对角线长，因此球的表面积为 ‎5.已知三棱锥中，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为　 　．‎ ‎【答案】.‎