2017-2018学年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体高二上学期期末考试数学理试题（Word版） 9页

绝密★启用前 2017-2018 学年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体 高二上学期期末考试数学理科试卷 注意事项： 1.本试卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 2．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 选出正确答案后，填在答题纸上方的第 I 卷答题栏内，不要答在第 I 卷上， 第 II 卷试题答案请写在答题纸上，交卷时只交答题纸。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。） 1.命题“若x≥1则x≥0”的否命题是( ) A、若 x1,则 x0 B、若 x1,则 x>0 C、若 x>1,则 x0 D、若 x<1,则 x<0 2．已知椭圆 2 2 116 8 x y  上的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于 2，那么点M 到椭圆的另一个焦点的距离等于（ ） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 3.已知空间向量 i，j，k 为单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝i－j，则向量 a 与-b 的数量积等于( ) A． -1 B. 0 C. 1 D . 4 4.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a3+a5=10，则它的前 5 项的和 S5=( ) A． -5 B． 2 C． 10 D． 34 5．设 ,x y 满足约束条件 2 6 0 2 6 0 0 x y x y y          ，则目标函数 z x y  的最小值是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．6 6.已知a+b>0,且b<0，那么a,b,-a,-b的大小关系是（ ） A.-a1时，使不等式x+ 1 x-1 ≥a恒成立的实数a的取值范围是 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分） 17．（本小题满分 10 分）已知{an}是一个等差数列，且 a2=7，a8=﹣5． （1）求{an}的通项公式； （2）求{an}前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值． 18.（本小题满分 12 分）已知条件 p ：“x>a”是“ 0322  xx ”的充分不必要 条件，条件q：点 )1,(aM 在椭圆 124 22  yx 外，若p∧(¬q)为真命题，求 a 的取值范围． 19. （本小题满分 12 分）若双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的渐近线与圆 x2+(y-2)2=1相切，且实轴长为 4，求双曲线方程． 20. （本小题满分 12 分）已知△ABC 的外接圆的半径为 R，且满足 2R（sin2A-sin2C）=( a-b)sinB. (1).求角 C 的大小。 (2).若 c=2，求△ABC 面积的最大值。 3 21. （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右顶点和上 顶点分别为 A B、 ，|AB|=7 ， 离心率为1 2 。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点 A 作斜率为 ( 0)k k 的直线 l 与椭圆交于另外一 点C ，求 ABC 面积的最大值. 22．（本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，BM⊥PD 于点 M. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C B D B B D D C A 二．填空题 13.等腰 14. 15. （4，5） 16. 三、解答题 17.解：(1)∵a2=7，a8=-5， ∴ …………………………6 分 18.解：因为 为真命题，所以 是真命题并且 是假命题 --------3 分 由 真，a 1 ---------6 分 由 假得，点 M 在椭圆上或椭圆内， ，---------9 分 即 ---------10 分 综上 ----------12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：由实轴长为 4，得 2a=4，∴a=2; --------2 分 所以渐近线方程为： --------4 分 由对称性可知，其中一条渐近线方程：bx-2y=0，--------6 分 圆心为（0，2），r=1，--------8 分 ∵渐近线与圆相切，所以，即 ，--------10 分 所以 b2= 12 ， 所以双曲线方程为： -------12 分 20.解： （1）∵2R（sin2A-sin2C）=( a-b)sinB， ∴ 4R2（sin2A-sin2C）=( a-b)2RsinB ，由正弦定理得 a2-c2= ab- b2--3 分 ∴a2+ b2-c2= ab ∴cosC= ，∴C=30°。 ……6 分 (2)由余弦定理得： 4= a2+ b2—2abcos30° ……8 分 即 4= a2+ b2— ab 故 当且仅当 a=b 时取得最大值。……10 分 …………………………12 分 21.解：（Ⅰ）由题意得 -------4 分 （Ⅱ）AB 的方程为 ，且 ， 可设与 平行的椭圆的切线方程为 ， 代入椭圆的方程消去 得， ---------6 分 解得. --------8 分 所以和直线 AB 平行且与椭圆相切的直线方程为 切点 C 为距离 AB 最远点，而二直线距离为 --------10 分 ---------12 分 22. （本小题满分 12 分） 解：(1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A， ∴AB⊥平面 PAD. ∵PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD， 又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B， ∴PD⊥平面 ABM. ∵AM⊂平面 ABM，∴AM⊥PD. (2) 如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)． ∵AM⊥PD，PA＝AD， ∴M 为 PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2,2)． ∴AC →＝(2,4,0)，AM →＝(0,2,2)，CD →＝(－2,0,0)． 设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由 n⊥AC →，n⊥AM →可得x＋2y＝0 y＋z＝0 ， 令 z＝1，得 x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)． 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为α， 则 sin α＝ CD |·|n|＝6 3. ∴cos α＝3 3，即直线 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为3 3.