专题1-4 函数与导数专题突破 -2017年全国高考数学考前复习大串讲 16页

专题一 高考中函数图象与性质的综合应用 题型一　分段函数求值问题 ‎【例1】　设f(x)＝ 且f(1)＝6，则f(f(－2))的值为________.‎ ‎【思维启迪】　首先根据f(1)＝6求出t的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f(f(－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值.‎ ‎【答案】　12‎ ‎【思维升华】　本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题.解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.‎ ‎【跟踪训练】已知f(x)＝则f＋f的值等于________.‎ ‎【答案】　3‎ ‎【解析】　f＝，f＝f＋1＝f＋2＝，f＋f＝3.‎ 题型二　函数图象及性质的应用 ‎【例2】　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝2x－x2.‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式并画出其大致图象；‎ ‎(2)若当x∈a，b]时，f(x)∈.若00时，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，‎ 所以要使方程f(x)＝m有三个不同的实根，‎ 则－f(x) (或a0时，g(x)在2,3]上为增函数， ‎ 故即解得 当a<0时，g(x)在2,3]上为减函数，‎ 故即解得 因为b<1，所以a＝1，b＝0.‎ ‎(2)方程f(2x)－k·2x≥0化为2x＋－2≥k·2x，‎ 即1＋()2－≥k.令＝t，则k≤t2－2t＋1，‎ 因为x∈－1,1]，所以t∈，2]，记φ(t)＝t2－2t＋1，‎ 所以φ(1)min＝0，所以k≤0. ‎ ‎【思维升华】　解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置；不等式恒成立问题关键是看不等式的特点，灵活运用函数的性质，如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等；已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点，可运用函数的图象处理.‎ ‎【跟踪训练】　定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).‎ ‎ (1)求f(0)；‎ ‎(2)求证：f(x)为奇函数；‎ ‎(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【解析】‎ 当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立⇔ 解得－1≤k<－1＋2.‎ 综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立.‎ 题型四　函数的实际应用 ‎【例4】　据气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方 向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线 ‎ 段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分 的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路线s(km).‎ ‎(1)当t＝4时，求s的值；‎ ‎(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km.试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.‎ 思维启迪　本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中的行程问题，要分析出每段的速度随时间的关系式，再求距离.‎ ‎【解析】(1)由图象可知：‎ 当t＝4时，v＝3×4＝12，‎ ‎∴s＝×4×12＝24.‎ ‎(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；‎ 当100)表示的曲线上，其中k与发射 方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程.‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，‎ 由实际意义和题设条件知x>0，k>0，‎ 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号.‎ 所以炮的最大射程为10千米.‎ ‎(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，‎ 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ‎⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ‎⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.‎ 所以当a不超过6千米时，可击中目标. ‎ 专题二 高考中导数的应用的问题 题型一　利用导数研究函数性质 ‎【例1】　(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．‎ ‎【思维升华】　利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．‎ ‎【跟踪训练】　已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．‎ 题型二　利用导数研究不等式问题 ‎【例2】　已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.‎ ‎(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)　∀x∈(0，＋∞)，有2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，‎ 设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，‎ 则h′(x)＝，‎ ‎①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，‎ ‎【思维升华】　‎ ‎(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．‎ ‎(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．‎ ‎【跟踪训练】　已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x＋2y－3＝0.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x) >.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)　f′(x)＝－.‎ 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，‎ 故即 解得a＝1，b＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知f(x)＝＋，‎ 所以f(x)－＝.‎ 考虑函数h(x)＝2ln x－ (x>0)，‎ 则h′(x)＝－＝－.‎ 所以当x≠1时，h′(x)<0.而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得h(x)>0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得h(x)>0.‎ 从而当x>0，且x≠1时，f(x)－>0.‎ 即f(x)>. ‎ 题型三　利用导数研究函数零点或图象交点问题 ‎【例3】　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.‎ ‎(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，f(x)的极小值；‎ ‎(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，‎ 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．‎ 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，‎ 则φ′＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，‎ 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；‎ 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．‎ ‎∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.‎ 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，‎ 可知 ‎【思维升华】　‎ 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围．‎ ‎【跟踪训练】　已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，‎ 则g′(x)＝－2x＝.‎ ‎∵x∈，e]，‎ ‎∴当g′(x)＝0时，x＝1.‎ 当0；‎ ‎ ‎