数学卷·2018届湖北省黄石黄石市级达标学校高二上学期期中考试文科数学试卷 （解析版） 10页

‎2016-2017学年湖北省黄石黄石市级达标学校高二上学期期中考试文科数学 一、选择题：共12题 ‎1．命题：“∃x0∈R,x02+x0﹣1＞0”的否定为 A.∀x∈R,x2+x﹣1＜0 B.∀x∈R,x2+x﹣1≤0‎ C.∃x0∉R,x02+x0﹣1=0 D.∃x0∈R,x02+x0﹣1≤0‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查全称量词与特称量词.特称命题的否定为全称命题;所以“∃x0∈R,x02+x0﹣1＞0”的否定为“∀x∈R,x2+x﹣1≤0”.选B.‎ ‎ ‎ ‎2．一条直线的倾斜角的正弦值为,则此直线的斜率为 A. B.± C. D.±‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率.由题意得,所以,所以或;即直线的斜率.选B.‎ ‎ ‎ ‎3．圆和的位置关系是 A.相离        　　 B.外切 C.内切 D.相交 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查圆与圆的位置关系.由题意得圆:,圆心,半径;:,圆心,半径;,满足,所以圆和的位置关系是相交.选D.‎ ‎ ‎ ‎4．已知命题p：∃x∈R,使得x2﹣x+2＜0；命题q：∀x∈[1,2],使得x2≥1.以下命题为真命题的是 A.￢p∧￢q B.p∨￢q C.￢p∧q D.p∧q ‎【答案】C ‎【解析】本题考查命题及其关系,逻辑联结词,全称命题与特称命题.由题意得:命题p为假命题，命题q为真命题;所以￢p为真命题,￢q为假命题;￢p∧￢q为假命题,排除A;p∨￢q为假命题,排除B;￢p∧q为真命题,C正确.选C.‎ ‎ ‎ ‎5．“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查两直线的位置关系,充要条件.直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直,可得a2=-1,解得或;而“a=﹣1”是“或”的充分不必要条件,所以“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣(a﹣3)y+9=0互相垂直”的充分不必要条件.选A.‎ ‎ ‎ ‎6．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程,属于基础题.‎ 由题意知,双曲线的离心率e=,所以-1=,所以,所以渐近线方程为y=±x,故选C.‎ ‎ ‎ ‎7．若抛物线y2=2px(p＞0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x ‎【答案】C ‎【解析】本题考查抛物线的定义与标准方程.因为抛物线上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以,解得;即抛物线的标准方程为y2=8x.选C.‎ ‎ ‎ ‎8．若椭圆和双曲线有相同的左右焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则的值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查椭圆与双曲线的几何性质.在椭圆中;在双曲线中;联立解得,(不妨令)；所以.选A.‎ ‎ ‎ ‎9．设P是椭圆上一动点,F1,F2分别是左、右两个焦点，则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.由题意得,;由基本不等式得,解得(当且仅当时等号成立);在中,由余弦定理得===.即的最小值是.选C.‎ ‎【备注】余弦定理:.‎ ‎ ‎ ‎10．若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点,则k的取值范围是 A.[1,+∞) B.[﹣1,﹣) C.(,1] D.(﹣∞,﹣1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.由题意得y=kx+4+2k表示过定点的直线;曲线表示上半圆(如图所示);当直线与圆相切于点时,有唯一的交点,此时圆心到直线的距离,解得();当直线过点时,直线与曲线有两个交点,此时;数形结合可得,若直线与曲线有两个交点,则,即k的取值范围是[﹣1,﹣).选B.‎ ‎ ‎ ‎11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查平面向量的数量积,椭圆.由题意得,,令点,则====(当且仅当时等号成立);即的最大值为6.选C.‎ ‎ ‎ ‎12．设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查双曲线的几何性质.画出图形(如图所示),|PF2|=|F1F2|=2c,PF1⊥QF2,所以|PF1|=2a+2c，QF1=QP= a+c;因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以QF2=,整理得双曲线的离心率.选A.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．抛物线的准线方程为         .‎ ‎【答案】x=-2‎ ‎【解析】本题考查抛物线.由题意得,即,,所以抛物线的准线方程为.‎ ‎ ‎ ‎14．过P(8,1)的直线与双曲线交于A、B两点且AB被P平分,则直线AB方程为     .‎ ‎【答案】2x-y-15=0‎ ‎【解析】本题考查双曲线,直线的方程.令,,而A、B两点在双曲线上,所以且,两式相减得=,即=;而AB被P平分,所以且,即,所以;所以直线AB方程为,即2x-y-15=0.‎ ‎ ‎ ‎15．椭圆的两个焦点与F1、F2,若P为其上一点,则,则椭圆离心离的取值范围为             .‎ ‎【答案】[,1)‎ ‎【解析】本题考查椭圆的几何性质.由题意得==,解得=，所以;在三角形中,，即,即;当F1、F2、P三点共线时，即,即;所以,即椭圆离心离的取值范围为[,1).‎ ‎ ‎ ‎16．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1,动点P到直线l2的距离为d2,则d1+d2的最小值为　   　.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题考查抛物线的几何性质.由题意得:动点P到直线l2的距离为d2=(如图所示);所以d1+d2=(当且仅当三点共线时等号成立);而焦点到直线l1：4x﹣3y+16=0的距离.即d1+d2的最小值为4.‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知两直线l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0,分别求满足下列条件的a,b的值.‎ ‎(1)l1⊥l2,且直线l1过点(﹣3,﹣1)；‎ ‎(2)l1∥l2,且直线l1在两坐标轴上的截距相等.‎ ‎【答案】(1)∵两直线l1：ax﹣by+4=0,l2：(a﹣1)x+y+b=0且l1⊥l2,‎ ‎∴a(a﹣1)+(﹣b)×1=0,即a2﹣a﹣b=0,‎ 又∵直线l1过点(﹣3,﹣1),∴﹣3a+b+4=0,‎ 联立解得a=2,b=2；‎ ‎(2)由l1∥l2可得a×1﹣(﹣b)(a﹣1)=0,即a+ab﹣b=0,‎ 在方程ax﹣by+4=0中令x=0可得y=；令y=0可得x=﹣,∴=﹣,即b=﹣a；‎ 联立解得a=2,b=﹣2.‎ ‎【解析】本题考查两直线平行与垂直.(1)∵l1⊥l2,∴a(a﹣1)+(﹣b)×1=0,又∵l1过点(﹣3,﹣1),∴﹣3a+b+4=0,联立解得a=2,b=2；(2)由l1∥l2可得a×1﹣(﹣b)(a﹣1)=0,而=﹣,解得a=2,b=﹣2.‎ ‎ ‎ ‎18．已知命题p:“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”,命题q:“函数的定义域为R”.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若pq是真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】∵命题p:“方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”,‎ ‎∴3﹣m＞m﹣1＞0,解得1＜m＜2.‎ 命题q:“函数f(x)=lg(x2﹣mx+)的定义域为R”,‎ ‎∴△=m2﹣4×＜0,解得.‎ ‎(1)由命题p为真命题,则实数m的取值范围是(1,2)；‎ ‎(2)若p∧q是真命题,则p与q都为真命题,∴,解得.‎ ‎∴实数m的取值范围是.‎ ‎【解析】本题考查命题及其关系,逻辑联结词,椭圆的标准方程.命题p为真命题得1＜m＜2.命题q为真命题得.(1)p为真命题,m∈(1,2)；(2)若p∧q是真命题,则p与q都为真命题,得.‎ ‎ ‎ ‎19．已知圆N经过点A(3,1),B(﹣1,3),且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上.‎ ‎(1)求圆N的方程；‎ ‎(2)若点D为圆N上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1)由已知可设圆心N(a,3a﹣2)；‎ 又由已知得|NA|=|NB|,从而有,解得a=2.‎ 于是圆N的圆心N(2,4),半径 所以,圆N的方程为(x﹣2)2+(y﹣4)2=10;‎ ‎(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得，解得.‎ 又点D在圆N：(x﹣2)2+(y﹣4)2=10上,所以有(2x﹣3﹣2)2+(2y﹣4)2=10,化简得:;‎ 故所求的轨迹方程为.‎ ‎【解析】本题考查圆的标准方程,点的轨迹.(1)设圆心N(a,3a﹣2),由|NA|=|NB|得a=2.得圆心N(2,4),半径,所以圆N为(x﹣2)2+(y﹣4)2=10;(2)设M(x,y),D(x1,y1),M为线段CD的中点得.又点D在圆N上,得.‎ ‎ ‎ ‎20．已知双曲线C的顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,离心率.‎ ‎(1)求双曲线C的标准方程；‎ ‎(2)过点P(3,0)且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点,求k的值.‎ ‎【答案】(1)设双曲线C的标准方程为，∴2a=8,，所以a=4,c=5,b=3；‎ ‎∴双曲线C的标准方程为;‎ ‎(2)直线方程为y=k(x﹣3)，由得(9﹣16k2)x2+96k2x﹣144(k2+1)=0,‎ ‎①9﹣16k2=0,即或时,直线与双曲线有且仅有一个公共点,‎ ‎②9﹣16k2≠0,∴△=(96k2)2+4×144(9﹣16k2)(k2+1)=0,∴7k2﹣9=0,解得或.‎ 综上所述,或或或.‎ ‎【解析】本题考查双曲线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得2a=8,，解得a=4,c=5,b=3，∴双曲线C为;(2)联立方程,套用根与系数的关系,分类讨论得或或或.‎ ‎ ‎ ‎21．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？‎ ‎【答案】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意，‎ 将B(4，－5)代入方程得，‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航.‎ 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，‎ 由，得.‎ 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，‎ 则(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.‎ ‎【解析】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x＝2时的y值.‎ ‎【备注】以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等.解题的关键是把实际问题转化为数学问题.一般解题步骤：‎ ‎(1)建：建立适当的坐标系；‎ ‎(2)设：设出合适的抛物线标准方程；‎ ‎(3)算：通过计算求出抛物线标准方程；‎ ‎(4)求：求出所要求出的量；‎ ‎(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题.‎ ‎ ‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,|AB|=2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)已知点P是椭圆C上的动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M、N两点,是否存在点P,使得以MN为直径的圆经过点(2,0)？若存在,求出点P的横坐标；若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由题意可得e==,2b=2,即b=1;又a2﹣c2=1,解得a=2,c=,‎ 即椭圆的方程为+y2=1；‎ ‎(Ⅱ)设P(m,n),可得+n2=1,即有n2=1﹣;由题意可得A(0,1),B(0,﹣1);‎ 设M(4,s),N(4,t),由P,A,M共线可得,kPA=kMA,即为=,可得s=1+;‎ 由P,B,N共线可得,kPB=kNB,即为=,可得s=﹣1.‎ 假设存在点P,使得以MN为直径的圆经过点Q(2,0).‎ 可得QM⊥QN,即有•=﹣1,即st=﹣4;即有[1+][﹣1]=﹣4;‎ 化为﹣4m2=16n2﹣(4﹣m)2=16﹣4m2﹣(4﹣m)2,解得m=0或8;‎ 由P,A,B不重合,以及|m|＜2,可得P不存在.‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(Ⅰ)由题意得e==,2b=2,解得a=2,c=,b=1,即椭圆为+y2=1;(Ⅱ)P,A,M共线得s=1+;由P,B,N共线得s=﹣1.假设存在点P,得QM⊥QN,得m=0或8;由P,A,B不重合,以及|m|＜2,可得P不存在.‎ ‎ ‎