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  • 2021-06-19 发布

高中数学:数学精英解_“不等式”题

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‎9.(湖北卷第21题)已知m,n为正整数.‎ ‎(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;‎ ‎(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;‎ ‎(Ⅲ)求出满足等式3n+‎4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.‎ ‎【分析】一题多问的试题,后面的各问往往需要应用前此各问的结论.‎ 本题第(Ⅰ)问不难,但第(Ⅱ)问却令人相当棘手.我们猜想:第(Ⅱ)问是否可以利用第(Ⅰ)问的结论?第(Ⅲ)问更难,是否又可以利用第(Ⅱ)问的结论?‎ 解题实践证明:这个猜想是对的.‎ 解答:(Ⅰ)略 ‎(Ⅱ)∵且知令则.‎ ‎∴,即(注:这是利用第(Ⅰ)问的前提条件)‎ 根据(Ⅰ),.‎ 但时,仍有,.‎ ‎(注:这里连续利用放缩法达到了证题的目的)‎ ‎(Ⅲ)当时,直接验算:‎ 显然n=2符合条件:‎ n=3时,左边=33+43+53=216,右边=(3+3)3=216,∴n=3也符合条件.‎ n=4时,左边=,而右边=.‎ 注意到:两个奇数之和必是奇数,而任意多个偶数之和还是偶数,那么左边=偶数,而右边=奇数,故两边必不相等,∴n=4不符合条件.‎ n=5时,左边=,而右边=.‎ 注意到:任一整数的5次幂与其本身,其个位数相同,容易判断左边的个位为5,而右边的个位是2,仍为左奇右偶,∴n=5也不符合条件.‎ 故当时,n=2或3.‎ ‎(注:在数学高考中,也用到了与整数论有关的课外基本知识,这个动向值得注意)‎ 当n≥6时,假定存在使得成立,则有:‎ 但是:‎ ‎=.‎ 根据(Ⅱ),右式 ‎(1)与(2)矛盾,故当不存在满足等式3n+‎4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.‎ ‎(注:当时,只有2与3两个数符合条件,据此我们已经猜想到n≥6时,符合条件的正整数不存在.而证题的策略是,先假定存在,然后用反证法推翻这个假定.)‎ 综上,适合该等式的所有正整数只有2与3. ‎

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