命题角度2-1 利用正弦定理和余弦定理解三角形（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 10页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度1：利用正弦定理和余弦定理解三角形 ‎1.如图所示，在四边形中，,且,.‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的长；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）在中，,所以 因为，所以 ‎ ‎2.在中，角所对的边分别为，已知， .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求外接圆的面积.‎ ‎【答案】（1）.(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，问题得以解决；（2）由（1）可得 ‎，先由余弦定理求出，再求出的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.‎ 试题解析：（1）由已知得，即.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ 由正弦定理得.∵，∴.‎ 由余弦定理得： ，即，易得，‎ 设的外接圆半径为，则，解得，所以的外接圆面积为.‎ ‎3.已知在中， 的面积为，角， ， 所对的边分别是， ， ，且， ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，得，得，‎ 即，所以，‎ 又，所以，故，‎ 又∵，故，即，所以，‎ 故，‎ 故．‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果. ‎ ‎4.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若成等差数列，且公差大于0，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到；第二问，利用等差中项的概念得，再利用正弦定理将边转换成角，得到，设，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到 ‎，再利用内角和与诱导公式，将转化成，解方程求出的值，即的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，‎ 所以． 4分 考点： 1.正弦定理；2.等差中项；3.两角和的余弦公式；4.诱导公式.‎ ‎5.的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得.‎ ‎（Ⅰ）求证： 是直角；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合正弦定理求得即可；‎ ‎(2)设利用题意结合正弦定理可得的值为.‎ 试题解析： ‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）因为 由正弦定理，得，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即是直角.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 在中，因为，‎ 所以，所以.‎ 在中， ，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，整理得，‎ 所以，即.‎ ‎6.如图，在中，，点在边上，，为垂足.‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）若，求角的大小.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ 又，‎ 解得 ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎∴ ‎ 即的长为3.‎ ‎7.如图，在四边形 中， , 平分, ，‎ ‎, 的面积为， 为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求 .‎ ‎【答案】(I) . (II) .‎ ‎【解析】试题分析: (I)在中,由三角形的面积公式可求得,再利用余弦定理求出；（Ⅱ）在中，由正弦定理求出和,根据题意 平分 ， ,在和 中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出.‎ ‎ ‎ ‎(II)在中，由正弦定理得 ‎ 即 ，解得 ‎ ‎ , 也为锐角.‎ ‎ . ‎ 在 中，由正弦定理得 ‎ 即 ①‎ 在 中，由正弦定理得 ‎ 即 ②‎ ‎ 平分 ， ‎ 由①②得 ，解得 ‎ 因为为锐角，所以 .‎ 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎8在中，内角的对边分别为，已知向量平行.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若周长为，求的长.‎ ‎【答案】(1)2；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)由向量平行的性质可得，再利用正弦定理，将边化为角，结合两角和与差公式化简可得结论；(2)由利用余弦定理化简求出a，结合(1)的结论求出c，则结果可得.‎ 试题解析：(1)由已知得，‎ 由正弦定理，可设，‎ 则，‎ 即，‎ 化简可得，又，‎ 所以，因此.‎ ‎(2) ，‎ 由(1)知，则，由周长，得.‎ ‎9. 在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且， ‎ ‎(Ⅰ) 求角的大小；‎ ‎(Ⅱ) 求△ABC的最短边的边长。‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由正弦定理边化角，结合两角和差正余弦公式可得，则 ‎(Ⅱ)由题意结合余弦定理求得，.则的最短边的边长.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理得，‎ 且，‎ ‎∴，∴.‎ 解得，∴. ‎ ‎∴的最短边的边长.‎ ‎10.已知中，角所对的边分别为，若.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析: （1）根据余弦定理边角互化,从而解出a值; （2）根据已知求出与,得到两者相等,故的值为.‎ 试题解析:解：（1）因为，故，所以，‎ 因为，所以，‎ 解得或（舍去），故.‎ ‎ 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎ ‎