江西省瑞金市四校联盟2020届高三第一次联考试卷数学（理）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com ‎2020届四校联盟高三第一次联考试卷理科数学 一、选择题 ‎1. 在复平面内，复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的模、复数的除法运算求得，由此求得的共轭复数，进而求得的共轭复数的虚部.‎ ‎【详解】由得，所以，虚部为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.‎ ‎2. 已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可得，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎3. 下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①. “”是“定义在上函数是奇函数”的充要条件 ‎②. 若：，，则：，‎ ‎③. “若，则”的逆否命题是错误的 ‎④. 若为假命题，则，均为假命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，对应①可根据特殊函数直接判断否成立，‎ ‎②根据特称命题的否定形式直接判断；‎ ‎③根据原命题和逆否命题的关系判断真假；‎ ‎④根据复合命题的真假判断方法直接判断.‎ ‎【详解】对于①时，函数不一定是奇函数，如，，∴错误；‎ 对于②命题：，，则：，，∴错误；‎ 对于③，因为若，则正确，所以它的逆否命题也正确，∴错误；‎ 对于④若为假命题，则，至少有一假命题，∴错误；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查有关命题的判断，意在考查基本概念和基本知识和基本判断方法，属于基础题型.‎ ‎4. 是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 25 -‎ 设双曲线的右焦点为，连接，则 ‎（为点到渐近线的距离），即的最小值为；故选D.‎ 点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.‎ ‎5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）‎ 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 ‎ ‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项 ‎【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；‎ 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；‎ 对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的 - 25 -‎ ‎,故C正确；‎ 对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题 ‎6. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为10，则输出的值为（）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据流程逐步分析，直到时，计算出的值即可.‎ ‎【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.‎ - 25 -‎ ‎7. 函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎8. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为（ ）‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，在中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．‎ 详解】解：，‎ 在中，可得，‎ 即为，解得，‎ ‎，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎9. 已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，根据，求得，并求出，从而得出的最小值.‎ ‎【详解】如图所示，因为，所以，‎ 所以，且，‎ - 25 -‎ 所以,‎ 当时取等号，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎10. 若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．‎ ‎【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.‎ 故选：A - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎11. 已知曲线，相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎①当时，的取值范围是；‎ ‎②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；‎ ‎③函数的最小正周期为；‎ ‎④函数在区间上有且仅有一个零点.‎ A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数相邻对称轴之间的距离为，求得函数的最小正周期，从而求得，再利用辅助角公式，求得函数的解析式，逐项分析，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，其中，‎ 因为函数相邻对称轴之间的距离为，可得最小值周期为，‎ 又由，所以，‎ 当时，则，‎ 对于①中，由函数在出取得最大值，可得，‎ 解得，所以，‎ 又由，所以，即，所以是正确的；‎ 对于②中，不妨令，则，可解得一个，那么 - 25 -‎ 的图象向左平移个单位后得到函数，此时函数为奇函数，所以是不正确的；‎ 对于③中，由于的周期为，可得函数的周期为，即函数的最小正周期应满足，所以是正确的；‎ 对于④中，‎ ‎，‎ 由③可知函数的最小正周期为，由函数在处取得最大值可知，在其后上满足，而当超过这区间的时候，存在的情况，‎ 即当时，函数值一直为0，显然不止一个零点，所以是错误的.‎ 当时，同理可验证得到以上结论，‎ 综上可得正确的是①③.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角恒等变换的化简，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于难题.‎ ‎12. 已知函数的最小值分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. 的大小关系不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对，求导，求出其最小值，可得其大小关系.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ - 25 -‎ 易得，设，可得，可得，由与图像可知存在，使得，可得当，，当，，可得得最小值为，即；‎ 同理：，‎ 设，可得或者，由与得图像可知，存在，使得，可得当时，，当时，，当时，，可得即为得最小值，可得，故，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13. 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的系数为13求得,再令即可求得展开式中各项系数和 ‎【详解】由题,的系数为,则,‎ 所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,‎ 故答案为：64‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和 ‎14. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为 - 25 -‎ 万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则的值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根题意，建立等差数列的模型，利用等差数列的性质以及前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】设该设备第n年营运费用为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以，可得设备使用了n年的营运费用总和为万元，‎ 设第n年的盈利总和为，则，‎ 所以年平均盈利额为，‎ 当且仅当时，即时，取得等号，‎ 即年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则的值为3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题主要考查了与数列相关的实际应用问题，其中解答中根据条件利用等差数列的通项公式和求和公式，求得年平均盈利总额的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，与轴交于点.若为线段的中点，则______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，抛物线，可得，焦点为，‎ 因为A为线段的中点，可得，则，‎ 所以直线AF的方程为，‎ - 25 -‎ 联立方程组，整理得，‎ 设，则，可得，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎16. 正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，.‎ ‎（1）下列说法中，正确的编号为______.‎ ‎①截面多边形可能为六边形；②；③函数的图象关于对称.‎ ‎（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】 (1). ①③ (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用正方体的对角线的性质和对称性，得到截面为正三角性或正六边形，计算即可得到结论；‎ ‎（2）确定外接圆的球心在OP上，运用勾股定理求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.‎ - 25 -‎ ‎【详解】（1）正方体的棱长为2，可得对角线长为，‎ 对于①中，由线面垂直的判定定理和性质，可得平面，‎ 当截面经过中点时，此时得到的截面垂直与，且为正六边形，所以截面多边形可能为六边形，所以是正确的；‎ 对于②中，当时，可得截面为等边，如图所示，‎ 设等边的边长为，可得，‎ 在直角中，可得，即，‎ 解得，所以截面的周长，所以②不正确；‎ ‎③根据正方体的对称性，可得函数的图象关于对称，所以是正确的；‎ ‎（2）由正方体的棱长为2，可得对角线长为，‎ 当时，可得点恰为对角线的中点，则P在底面上的射影为AC的中点，‎ 由球的性质，可得球心在上，‎ 设球的半径为，可得，即，解得，‎ 所以三棱锥为外接球的表面积为.‎ 故答案为：①③，.‎ - 25 -‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，正方体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用结合体的几何结构特征和正方体的性质进行分析是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 三、解答题 ‎17. 在中，内角所对边分别为，已知．‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）若，为边上的点且，试求的最大值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦差角公式展开，并结合正弦定理与余弦定理将角化为边，化简后结合即可求得，即为边的长；‎ ‎（2）根据题意可得，结合余弦定理及基本不等式，即可求得的最大值．‎ ‎【详解】（1）根据正弦差角公式展开可得 可得，‎ 结合正弦定理化简可得．‎ 由余弦定理代入可得，‎ - 25 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即． ‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由， ‎ 得 ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 的最大值为8．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，正弦差角公式及基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎18. 如图,已知四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,点是棱的中点,点在棱上,且,//平面.‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结，连结，可得，根据，可得比例关系，和平行线比例关系可得；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明平面，所以以点为原点建立如图坐标系，分别求两个平面 - 25 -‎ 的法向量，根据求值.‎ 试题解析：（Ⅰ）连接，设，‎ 则平面平面，‎ ‎//平面，//， ‎ ‎∽，，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ），‎ 又，‎ ‎，，平面， ‎ 以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，平面的法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 则，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 即所求二面角的余弦值是．‎ ‎19. 已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．‎ - 25 -‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标， 同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）因的离心率，且经过点，‎ 所以 解得，．所以椭圆标准方程为．‎ ‎（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，． ‎ 设，，则直线的方程为， ‎ - 25 -‎ 联立方程组消得，‎ 所以点横坐标为；‎ 又直线的方程为 联立方程组消得，‎ 所以点的横坐标为． ‎ 由得，‎ 则有，则，‎ 化简得，解得，因为，所以，‎ 所以点的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.‎ ‎20. 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系．如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表 - 25 -‎ 气温范围 天数 ‎4‎ ‎14‎ ‎36‎ ‎21‎ ‎15‎ 以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．‎ ‎（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；‎ ‎（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）时，的数学期望达到最大值，最大值为11900‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可知9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；‎ ‎（2）结合（1）的分布列，分别讨论当和时，利润的数学期望，即可求出期望的最大值以及期望最大时的值．‎ ‎【详解】解析：（1）今年9月份这种水果一天需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤， ‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 于是的分布列为：‎ ‎2000‎ ‎3500‎ ‎5000‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ 的数学期望为：． ‎ - 25 -‎ ‎（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑， ‎ 当时，‎ 若气温不低于30度，则；‎ 若气温位于[25,30)，则；‎ 若气温低于25度，则；‎ 此时 ‎ 当时，‎ 若气温不低于25度，则；‎ 若气温低于25度，则；‎ 此时； ‎ 所以时，的数学期望达到最大值，最大值为11900．‎ ‎【点睛】本题考查分布列以及数学期望的求法，属于中档题．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）当时，单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）的单调性，根据，化简可得，得到 - 25 -‎ ‎，再利用三角函数则，所以，代入即可求解.‎ 详解】（1）由题意，函数，则，‎ 当时，，所以函数在上单调递减；‎ 当时，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减.‎ ‎（2）当时，，‎ 由（1）可知，在上单调递增，‎ 设且，则，即，‎ 化简可得，所以，‎ 因为，所以，所以 ，即，‎ 又因为，则，可得，‎ 则，所以，‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ - 25 -‎ ‎22. 已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由曲线的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出的方程，再转化为极坐标方程；‎ ‎(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的普通方程为：，‎ 将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：.‎ 化为极坐标方程为：.‎ ‎（2）点在直角坐标的坐标为，‎ 因为直线过点且倾斜角为，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ - 25 -‎ 代入得：.‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.‎ ‎23. 已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都为正数，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题设条件得出，解得，根据的解集求出的值；‎ ‎(2)将1代换为，利用基本不等式证明不等式即可.‎ ‎【详解】（1）由得得，‎ 因为的解集为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ - 25 -‎ 所以成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎