数学卷·2018届江苏省仪征中学高二4月月考（2017-04） 10页

江苏省仪征中学2016-2017学年第二学期4月月考 数学试卷 Ⅰ 卷 考试范围：复数、推理证明、集合、简易逻辑、函数（到性质）‎ ‎ 一、填空题（共14小题；共70分）‎ ‎1. 命题“ ， ”的否定是  ．‎ ‎2. 下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有  ．（写出符合要求的选项序号）‎ ‎ （1）设 ，，对应法则 ；‎ ‎ （2）设 ，，对应法则 ；‎ ‎ （3）设 ， 对应法则 除以 所得的余数；‎ ‎ （4） ，对应法则 ．‎ ‎ ‎ ‎3. 若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数  ．‎ ‎ ‎ ‎4. 设全集 ，集合 ，，则  ．‎ ‎ ‎ ‎5. 已知函数 的图象如下图所示，则 的解析式是  ．‎ ‎ ‎ ‎6. 下列各组函数中，表示同一函数的是  ．（填序号）‎ ‎① 与 ；‎ ‎② 与 ；‎ ‎③ 与 ；‎ ‎④ 与 ．‎ ‎ ‎ ‎7. 已知函数 则  ．‎ ‎ ‎ ‎8. 若复数 ，且 ，则 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎9. 复数 满足 ，则 的最小值为  ．‎ ‎ ‎ ‎10. 条件 ：；条件 ：．则 是   的条件．‎ ‎ ‎ ‎11. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来 ，则第 个图形中共有   个顶点．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12. 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 ，所以 的所有正约数之和为 ，参照上述方法，可求得 的所有正约数之和为  ．‎ ‎ ‎ ‎13. 设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时 ，则  ．‎ ‎ ‎ ‎14. 设函数 ，则下列命题中正确命题的序号有  （填序号）．‎ ‎ （1）当 时，函数 在 上有最小值；‎ ‎ （2）当 时，函数 在 上有最小值；‎ ‎ （3）函数 的图象关于点 对称；‎ ‎ （4）方程 可能有三个实数根．‎ ‎ 二、解答题（共6小题；共90分）‎ ‎15. （本小题14分）已知集合 ．‎ Ⅰ 若 是空集，求 的取值范围；‎ Ⅱ 若 中至多只有一个元素，求 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎16. （本小题14分） 如果 ：关于 的不等式 对一切 都成立，：关于 的方程 无实数根，且 与 中有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎17. （本小题14分）设函数 ，‎ Ⅰ 证明函数 是奇函数；‎ Ⅱ 证明函数 在 内是增函数；‎ Ⅲ 求函数 在 上的值域．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题16分）已知 ，．‎ Ⅰ 若 ，求实数 的值；‎ Ⅱ 若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题16分）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 人或 人以下，每人需交费用为 元；若旅行团人数多于 人，则给予优惠：每多 人，人均费用减少 元，直到达到规定人数 人为止．旅行社需支付各种费用共计 元．‎ Ⅰ 写出每人需交费用 关于人数 的函数；‎ Ⅱ 旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润?‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题16分）设函数 ．‎ Ⅰ 若 在区间 上不单调且在 时取到最大值，求实数 的取值范围；‎ Ⅱ 存在实数 和 ，使得当 时， 恒成立，求实数 的最小值．‎ ‎ ‎ 江苏省仪征中学2016-2017学年第二学期4月月考数学试卷 Ⅱ卷 ‎21. 用数学归纳法证明：对于一切正整数 ， 能被 整除．‎ ‎ ‎ ‎22. 如图，在四棱锥 中，，，， ， ， ， ； 求直线 与 所成角的正弦值 ‎ ‎ ‎23. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，，， 分别为 ， 中点，．‎ Ⅰ求二面角 的余弦值；‎ Ⅱ 在棱 上是否存在一点 ，使 ?‎ 若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎24. 已知常数 满足 ，数列 满足 ，．‎ Ⅰ 求 ，，；‎ Ⅱ 猜想 的通项公式，并给出证明；‎ Ⅲ 求证： 对 成立．‎ 答案 ‎1. ，；2. （1） （3）；3. ；4. ‎5. ；6. ④；7. ；8. ；9. ‎10. 充分不必要；11. ；12. ；13. ；14. （3），（4）‎ ‎15. （1） 若 ，方程 无解，‎ 则 且 ，解得 ．‎ ‎（2） 若 中至多只有一个元素，则方程 满足，‎ ‎ 且 ，或 ，解得 或 ．‎ ‎16. 当 为真时，由 ，可得 ．‎ 因此当 为假时有 或 ．当 为真时有 ，‎ 即 ．因此当 为假时有 或 ．‎ 综上可知，当 与 中有且只有一个为真命题时，有 或 ．‎ ‎17. （1） 由题意，得 ，即函数的定义域关于原点对称，‎ ‎ ‎ 所以函数 为奇函数．‎ ‎      （2） 设 ， 是 内任意两实数，且 ，则 ‎ 因为 ，所以 ，所以 ，‎ 所以函数 在 内是增函数．‎ ‎      （3） 因为函数 在 内是增函数，所以函数 在 上也是增函数，‎ 所以 ，，所以函数 在 上的值域为 ．‎ ‎18. （1） 由题意，得 ，．因为 ，所以 ，解得 ．‎ ‎      （2） 因为 是 的充分条件，所以 ．因为 ，所以 或 ，解得 或 ．‎ ‎19. （1） 当 时，；‎ 当 时，，即 ‎      （2） 设旅行社所获利润为 元．‎ 当 时，；‎ 当 ，；即 因为当 时， 为增函数，所以 时，．‎ 当 时，，即 时，．所以当旅行社人数为 时，旅行社可获得最大利润．‎ ‎20. （1） 由题，，解得 ．‎ ‎      （2） 设函数 在 上的最大值和最小值分别为 和 ，‎ 则问题等价于 且 （解题中体现这一点就给分）．‎ ‎（1）当 即 时，有 此时 ；‎ ‎（2）当 即 时，‎ 最大值在两端点取到，故只需 ‎ ‎ ①当 时，；‎ ‎ ②当 时，；‎ ‎（3）当 即 时，有 ‎ 此时 ；‎ 综上，实数 的最小值为 ，当 ， 时取到．‎ ‎21. 时， 能被 整除．‎ 假设 时，结论成立，即 能被 整除．‎ 当 时， 结合归纳假设，只需证 能被 整除．‎ 而 能被 整除．故 时结论也成立．‎ 综上，对于一切正整数 ， 能被 整除．‎ ‎22. 设 的法向量为 ，‎ ‎ 因为 ，，‎ ‎ 所以 令 ，得 ，又因为 ，‎ 设直线 与 所成角为 ， 所以 ，‎ 所以直线 与 所成角的正弦值为 ．‎ ‎23. （1）取 中点 ．在 中，因为 ，所以 ．‎ 因为 ，且 ，‎ 所以 ．因为 ，‎ 所以 ．又因为 是 的中点，‎ 所以 ．‎ 如图，以 为原点，，， ‎ 分别为 ，， 轴， 为单位长建立空间直角坐标系．‎ 因为 ，所以 ，‎ 则 ，，，，．，，．‎ 于是 ，，．‎ 因为 ，所以 是平面 的一个法向量．‎ 设平面 的一个法向量是 ．‎ 因为 ‎ 所以 即 ‎ 令 则 ．‎ 所以 ．‎ 由图可知，二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 ．‎ ‎      （3） 假设在棱 上存在一点 ，使得 .‎ 设 ，则 . 由（II）可知平面 的一个法向量是 . ‎ 因为 ，所以可设 ，‎ 则 ，， .‎ 又因为点 在棱 上，所以 与 共线. ‎ 因为 ，，‎ 所以 ，即 ，无解．‎ 故在棱 上不存在一点 ，使得 ．‎ ‎24. （1） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎      （2） 猜想：．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当 时，，结论成立，‎ 假设当 时，结论成立，即 ；‎ 当 时，因为 ，所以 ，‎ 即 时，结论成立，‎ 所以 对 成立．‎ ‎      （3） 因为 ，，‎ 所以 ，‎ 而由（2）知道，，‎ 所以 的符号与 的符号相同，‎ 依次类推，我们只需要证明 ．‎ 因为 ，‎ 而 ，所以 ，所以 ，，‎ 所以 ，所以 ，即 ．‎