2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练13 变化率与导数、导数的计算 8页

课时分层训练(十三) 变化率与导数、导数的计算 (对应学生用书第 180 页) A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．若 f(x)＝2xf′(1)＋x2，则 f′(0)等于( ) 【导学号：79170060】 A．2 B．0 C．－2 D．－4 D [f′(x)＝2f′(1)＋2x， 令 x＝1，则 f′(1)＝2f′(1)＋2，得 f′(1)＝－2， 所以 f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.] 2．已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角 形的面积等于( ) A．4 B．5 C．25 4 D．13 2 C [∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切线方程为 y－2＝8(x＋1)，即 8x－y＋10＝0， 令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－5 4 ， ∴所求面积 S＝1 2 ×5 4 ×10＝25 4 .] 3．(2018·武汉模拟)已知函数 f(x＋1)＝2x＋1 x＋1 ，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线 的斜率为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 A [f(x＋1)＝2x＋1－1 x＋1 ，故 f(x)＝2x－1 x ，即 f(x)＝2－1 x ，对 f(x)求导得 f′(x) ＝1 x2 ，则 f′(1)＝1，故所求切线的斜率为 1，故选 A．] 4．(2018·成都模拟)已知函数 f(x)的图象如图 2101，f′(x)是 f(x)的导函数，则下 列数值排序正确的是( ) 图 2101 A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) C [如图：f′(3)、f(3)－f(2) f3－f2 3－2 、f′(2)分别表示直线 n，m，l 的斜 率，故 0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选 C．] 5．(2018·福州模拟)已知 f(x)＝1 4x2＋sin π 2 ＋x ，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(x) 的图象是( ) A [∵f(x)＝1 4x2＋sin π 2 ＋x ＝1 4x2＋cos x，∴f′(x)＝1 2x－sin x，它是一个奇函 数，其图象关于原点对称，故排除 B、D．又 f′ π 6 ＝ π 12 －1 2 ＜0，故排除 C， 选 A．] 二、填空题 6．(2017·郑州二次质量预测)曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P(1,3)处的切线方程是 ________. 【导学号：79170061】 2x－y＋1＝0 [由题意得 f′(x)＝3x2－1，则 f′(1)＝3×12－1＝2，即函数 f(x)的 图象在点 P(1,3)处的切线的斜率为 2，则切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y ＋1＝0.] 7．若曲线 y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝________. 1 2 [因为 y′＝2ax－1 x ，所以 y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平 行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a－1＝0，a＝1 2.] 8．如图 2102，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处 的切线，令 g(x)＝xf(x)，其中 g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝________. 图 2102 0 [由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－1 3 ，即 f′(3)＝－1 3. 又因为 g(x)＝xf(x)， 所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由题图可知 f(3)＝1，所以 g′(3)＝1＋3× －1 3 ＝0.] 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝xnlg x； (2)y＝1 x ＋2 x2 ＋1 x3 ； (3)y＝sin x xn . [解] (1)y′＝nxn－1lg x＋xn· 1 xln 10 ＝xn－1 nlg x＋ 1 ln 10 . (2)y′＝ 1 x ′＋ 2 x2 ′＋ 1 x3 ′ ＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′ ＝－x－2－4x－3－3x－4 ＝－1 x2 －4 x3 －3 x4. (3)y′＝ sin x xn ′ ＝xnsin x′－xn′sin x x2n ＝xncos x－nxn－1sin x x2n ＝xcos x－nsin x xn＋1 . 10．已知点 M 是曲线 y＝1 3x3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l， 求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角α的取值范围. 【导学号：79170062】 [解] (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 2 分 所以当 x＝2 时，y′＝－1，y＝5 3 ， 所以斜率最小的切线过点 2，5 3 ， 4 分 斜率 k＝－1， 所以切线方程为 x＋y－11 3 ＝0. 6 分 (2)由(1)得 k≥－1， 9 分 所以 tan α≥－1，所以α∈ 0，π 2 ∪ 3π 4 ，π . 12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2016·山东高考)若函数 y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点 处的切线互相垂直，则称 y＝f(x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 A [若 y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则 f′(x1)·f′(x2)＝－1. 对于 A：y′＝cos x，若有 cos x1·cos x2＝－1，则当 x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈ Z)时，结论成立； 对于 B：y′＝1 x ，若有 1 x1 ·1 x2 ＝－1，即 x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在 x1，x2， 使得 x1x2＝－1； 对于 C：y′＝ex，若有 ex1·ex2＝－1，即 ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的 x1， x2； 对于 D：y′＝3x2，若有 3x21·3x22＝－1，即 9x21x22＝－1，显然不存在这样的 x1， x2. 综上所述，选 A．] 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x) 在点(1,2)处的切线方程是________． 2x－y＝0 [设 x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x. ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x. ∵当 x＞0 时，f′(x)＝ex－1＋1， ∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2. ∴曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)， 即 2x－y＝0.] 3．已知函数 f(x)＝x－2 x ，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x) 在 x＝1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线． [解] 根据题意有 f′(x)＝1＋2 x2 ，g′(x)＝－a x. 2 分 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线斜率为 f′(1)＝3， 曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线斜率为 g′(1)＝－a， 所以 f′(1)＝g′(1)，即 a＝－3. 6 分 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－f(1)＝3(x－1)， 所以 y＋1＝3(x－1)，即切线方程为 3x－y－4＝0. 9 分 曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－g(1)＝3(x－1)， 所以 y＋6＝3(x－1)，即切线方程为 3x－y－9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线. 12 分