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- 2021-06-19 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选题题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的
1.已知等差数列{an},a7=25,且a4=13,则公差d等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2
3.在等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a6=( )
A.64 B.32 C.28 D.14
4.在△ABC中,a=15,b=10,sinA=,则sinB=( )
A. B. C. D.
5.设椭圆的一个焦点为,且a=2b,则椭圆的标准方程为( )
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
6.“a=1”是“a2=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.已知△ABC的三条边长分别为8,10,15,则该三角形为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
8.若x>0,则x++2有( )
A.最小值6 B.最小值8 C.最大值4 D.最大值3
9.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
10.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y的最大值为( )
A.﹣3 B. C.5 D.6
12.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1,作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分
13.∃x0∈R,x02+2x0﹣3=0的否定形式为 .
14.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,求a的值.
15.如图是函数y=f(x)的导函数图象,给出下面四个判断:
①f(x)在区间[﹣2,1]上是增函数;
②x=﹣1是f(x)的极小值点;
③f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;
④x=1是f(x)的极大值点.
其中,判断正确的是 .(写出所有正确的编号)
16.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,则b= .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an+4n,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.
19.设命题p:函数y=kx+1在R上是增函数.命题q:∃x∈R,x2+2kx+1=0.如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求k的取值范围.
20.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人,结果如下:
男
女
合计
需要
40
30
70
不需要
160
270
430
合计
200
300
500
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附:
P(K2≥k)
0.50
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
.
21.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3
(1)求函数的解析式
(2)写出它的单调区间
(3)求此函数在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积.
2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选题题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的
1.已知等差数列{an},a7=25,且a4=13,则公差d等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】直接由已知代入等差数列的通项公式求解公差.
【解答】解:在等差数列{an}中,
∵a7=a4+(7﹣4)d,
由a7=25,a4=13,
得25=13+3d,
解得:d=4.
故选:D.
2.曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:验证知,点(1,0)在曲线上
∵y=x3﹣2x+1,
y′=3x2﹣2,所以k=y′|x﹣1=1,得切线的斜率为1,所以k=1;
所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为:
y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1.
故选A.
3.在等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a6=( )
A.64 B.32 C.28 D.14
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由等比数列的性质可得a2a6=a42,代值计算可得.
【解答】解:由等比数列的性质可得a2a6=a42,
∴2a6=a42=64,解得a6=32
故选:B
4.在△ABC中,a=15,b=10,sinA=,则sinB=( )
A. B. C. D.
【考点】正弦定理.
【分析】由正弦定理代入已知即可求值.
【解答】解:由正弦定理可得:sinB===.
故选:D.
5.设椭圆的一个焦点为,且a=2b,则椭圆的标准方程为( )
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由已知可设椭圆的标准方程为,根据a,b,c之间的关系,可得椭圆的标准方程.
【解答】解:∵a=2b,椭圆的一个焦点为,
∴设椭圆的标准方程为,
∴a2﹣b2=3b2=3,
故椭圆的标准方程为,
故选:A
6.“a=1”是“a2=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:由a2=1得a=1或﹣1,
则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件,
故选:A
7.已知△ABC的三条边长分别为8,10,15,则该三角形为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【考点】余弦定理.
【分析】利用余弦定理得出最大边15所对的角即可判断出.
【解答】解:设边15所对的角为θ,则cosθ=<0,
因此角θ为钝角,
∴该三角形为钝角三角形.
故选:A.
8.若x>0,则x++2有( )
A.最小值6 B.最小值8 C.最大值4 D.最大值3
【考点】基本不等式.
【分析】利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x>0,
则x++2≥2+2=8,当且仅当x=3时取等号.
故选:B.
9.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由条件根据渐近线方程,分类讨论,求得双曲线C的离心率的值.
【解答】解:当焦点在x轴上时,由题意可得=,设a=3k,b=k,∴c==4k,
∴=.
当焦点在y轴上时,由题意可得=,设b=3k,a=k,∴c==4k,
∴==.
综上可得,双曲线C的离心率为或,
故选:B.
10.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线y2=12x可得2p=12,解得p.可得焦点F(,0),准线l的方程为x=﹣.设所求点P的坐标为(x0,y0),利用|PF|=即可得出.
【解答】解:由抛物线y2=12x可得2p=12,解得p=6.
∴焦点F(3,0),准线l的方程为x=﹣3.
设所求点P的坐标为(x0,y0),则|PF|==x0+3.
∵|PF|=6,∴x0+3=6,解得x0=3.
故选:C.
11.已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y的最大值为( )
A.﹣3 B. C.5 D.6
【考点】简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移,可得当x=2,y=﹣1时,z取得最大值5.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,
其中A(﹣1,﹣1),B(2,﹣1),C(0.5,0.5)
设z=F(x,y)=2x﹣y,将直线l:z=2x﹣y进行平移,
当l经过点B时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=F(2,﹣1)=5
故选:C
12.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1,作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=
整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e.
【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),
∵∠F1PF2=60°,
∴=,
即2ac=b2=(a2﹣c2).
∴e2+2e﹣=0,
∴e=或e=﹣(舍去).
故选:D.
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分
13.∃x0∈R,x02+2x0﹣3=0的否定形式为 ∀x∈R,x2+2x﹣3≠0 .
【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定:
【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定:
∀x∈R,x2+2x﹣3≠0,
故答案为:∀x∈R,x2+2x﹣3≠0.
14.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,求a的值.
【考点】线性回归方程.
【分析】首先求出x,y的平均数,根据所给的线性回归方程知道b的值,根据样本中心点满足线性回归方程,把样本中心点代入,得到关于a的一元一次方程,解方程即可.
【解答】解: =(1+2+3+4)=2.5, =(4.5+4+3+2.5)=3.5,
将(2.5,3.5)代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,可得3.5=﹣1.75+a,
故a=5.25.
15.如图是函数y=f(x)的导函数图象,给出下面四个判断:
①f(x)在区间[﹣2,1]上是增函数;
②x=﹣1是f(x)的极小值点;
③f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;
④x=1是f(x)的极大值点.
其中,判断正确的是 ②③ .(写出所有正确的编号)
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【分析】根据函数导数符号和函数单调性的关系,极值的概念,以及在极值点处导数的取值情况即可说明每个判断的正误.
【解答】解:①x∈[﹣2,﹣1)时,f′(x)<0;
∴f(x)在[﹣2,﹣1)上是减函数;
∴该判断错误;
②x∈[﹣2,﹣1)时,f′(x)<0;x∈(﹣1,1]时,f′(x)>0;
∴x=﹣1是f(x)的极小值点;
∴该判断正确;
③x∈[﹣1,2]时,f′(x)≥0;x∈[2,4]时,f′(x)≤0;
∴f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;
∴该判断正确;
④f′(1)>0,所以x=1不是f(x)的极大值点;
∴该判断错误;
∴判断正确的是:②③.
故答案为:②③.
16.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,则b= 1 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出导数,求出切线的斜率,化简求解即可.
【解答】解:函数f(x)=x2+bx可得f′(x)=2x+b,
函数的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,
可得:2+b=3,解得b=1.
故答案为:1.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an+4n,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差d=2,由此能求出an=2n.
(2)由bn=an+4n=2n+4n,利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)∵数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12,
∴,
解得d=2,
∴an=2+(n﹣1)×2=2n.
(2)∵bn=an+4n=2n+4n,
∴Tn=2(1+2+3+…+n)+(4+42+43+…+4n)
=2×+
=.
18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由余弦定理变形已知式子可得cosB的值,可得B值;
(2)由题意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形为直角三角形,由面积公式可得.
【解答】解:(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,
∴ac=a2+c2﹣b2,∴
∵B∈(0,π),∴;
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,
解得,,满足a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,
∴△ABC的面积S=×2×6=6.
19.设命题p:函数y=kx+1在R上是增函数.命题q:∃x∈R,x2+2kx+1=0.如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求k的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】分别求出p,q为真时的k的范围,根据p,q一真一假,得到关于k的不等式组,解出即可
【解答】解:命题p真:∵y=kx+1在R递增,∴k>0
命题q真:由∃x∈R,x2+2kx+1=0,得方程x2+2kx+1=0有根,
∴△=(2k)2﹣4≥0,解得k≥1或k≤﹣1.
∵p∧q是假命题,p∨q是真命题,
∴命题p,q一真一假,
①若p真q假,则k>0且⇒﹣1<k<1⇒0<k<1.
②若p假q真,则k<0且k≥1或k≤﹣1.⇒﹣k≤﹣1.
综上k的范围是(0,1)∪(﹣∞,﹣1].
20.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人,结果如下:
男
女
合计
需要
40
30
70
不需要
160
270
430
合计
200
300
500
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附:
P(K2≥k)
0.50
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
.
【考点】独立性检验的应用.
【分析】(1)用频率估计概率,从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值;
(2)由公式计算k的值,从而查表即可.
【解答】解:(1)需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为=14%;
(2)由代入得,
k=≈9.967>6.635;
查表得P(K2≥6.635)=0.01;
故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
21.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3
(1)求函数的解析式
(2)写出它的单调区间
(3)求此函数在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出y′,由x=1时,函数有极大值3,所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程,求出a、b即可;
(2)令y′>0解出得到函数的单调增区间,令y′<0得到函数的单调减区间;
(3)由(2)求出函数的极值,再计算出函数在x=﹣2,x=2处的函数值,进行比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值;
【解答】解:(1)y′=3ax2+2bx,当x=1时,y′|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,
即,解得a=﹣6,b=9,
所以函数解析式为:y=﹣6x3+9x2.
(2)由(1)知y=﹣6x3+9x2,
y′=﹣18x2+18x,令y′>0,得0<x<1;令y′<0,得x>1或x<0,
所以函数的单调递增区间为(0,1),函数的单调递减区间为(﹣∞,0),(1,+∞).
(3)由(2)知:当x=0时函数取得极小值为0,当x=1时函数取得极大值3,
又y|x=﹣2=84,y|x=2=﹣12.
故函数在[﹣2,2]上的最大值为84,最小值为﹣12.
22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),解得p即可得出.
(2)F(1,0).设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为:y=x﹣1.与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得:|MN|=.利用点到直线的距离公式可得:原点O到直线MN的距离d.利用△OMN的面积S=即可得出.
【解答】解:(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得(﹣2)2=2p×1,解得p=2.
∴抛物线C的方程为:y2=4x.
(2)F(1,0).
设M(x1,y1),N(x2,y2).
直线l的方程为:y=x﹣1.
联立,
化为x2﹣6x+1=0,
∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|MN|===8.
原点O到直线MN的距离d=.
∴△OMN的面积S===2.