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  • 2021-06-19 发布

数学卷·2018届福建省福州市格致中学鼓山校区高二上学期期末数学试卷(文科) (解析版)

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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选题题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的 ‎1.已知等差数列{an},a7=25,且a4=13,则公差d等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2‎ ‎3.在等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a6=(  )‎ A.64 B.32 C.28 D.14‎ ‎4.在△ABC中,a=15,b=10,sinA=,则sinB=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设椭圆的一个焦点为,且a=2b,则椭圆的标准方程为(  )‎ A. =1 B. =1 C. =1 D. =1‎ ‎6.“a=1”是“a2=1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎7.已知△ABC的三条边长分别为8,10,15,则该三角形为(  )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ‎8.若x>0,则x++2有(  )‎ A.最小值6 B.最小值8 C.最大值4 D.最大值3‎ ‎9.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y的最大值为(  )‎ A.﹣3 B. C.5 D.6‎ ‎12.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1,作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分 ‎13.∃x0∈R,x02+2x0﹣3=0的否定形式为  .‎ ‎14.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,求a的值.‎ ‎15.如图是函数y=f(x)的导函数图象,给出下面四个判断:‎ ‎①f(x)在区间[﹣2,1]上是增函数;‎ ‎②x=﹣1是f(x)的极小值点;‎ ‎③f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;‎ ‎④x=1是f(x)的极大值点.‎ 其中,判断正确的是  .(写出所有正确的编号)‎ ‎16.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,则b=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an+4n,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac ‎(1)求角B;‎ ‎(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.‎ ‎19.设命题p:函数y=kx+1在R上是增函数.命题q:∃x∈R,x2+2kx+1=0.如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求k的取值范围.‎ ‎20.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人,结果如下:‎ 男 女 合计 需要 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎430‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;‎ ‎(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.50‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎21.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3‎ ‎(1)求函数的解析式 ‎(2)写出它的单调区间 ‎(3)求此函数在[﹣2,2]上的最大值和最小值.‎ ‎22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选题题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的 ‎1.已知等差数列{an},a7=25,且a4=13,则公差d等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】直接由已知代入等差数列的通项公式求解公差.‎ ‎【解答】解:在等差数列{an}中,‎ ‎∵a7=a4+(7﹣4)d,‎ 由a7=25,a4=13,‎ 得25=13+3d,‎ 解得:d=4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.‎ ‎【解答】解:验证知,点(1,0)在曲线上 ‎∵y=x3﹣2x+1,‎ y′=3x2﹣2,所以k=y′|x﹣1=1,得切线的斜率为1,所以k=1;‎ 所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为:‎ y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.在等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a6=(  )‎ A.64 B.32 C.28 D.14‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得a2a6=a42,代值计算可得.‎ ‎【解答】解:由等比数列的性质可得a2a6=a42,‎ ‎∴2a6=a42=64,解得a6=32‎ 故选:B ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,a=15,b=10,sinA=,则sinB=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理代入已知即可求值.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可得:sinB===.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.设椭圆的一个焦点为,且a=2b,则椭圆的标准方程为(  )‎ A. =1 B. =1 C. =1 D. =1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由已知可设椭圆的标准方程为,根据a,b,c之间的关系,可得椭圆的标准方程.‎ ‎【解答】解:∵a=2b,椭圆的一个焦点为,‎ ‎∴设椭圆的标准方程为,‎ ‎∴a2﹣b2=3b2=3,‎ 故椭圆的标准方程为,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎6.“a=1”是“a2=1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:由a2=1得a=1或﹣1,‎ 则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎7.已知△ABC的三条边长分别为8,10,15,则该三角形为(  )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】利用余弦定理得出最大边15所对的角即可判断出.‎ ‎【解答】解:设边15所对的角为θ,则cosθ=<0,‎ 因此角θ为钝角,‎ ‎∴该三角形为钝角三角形.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.若x>0,则x++2有(  )‎ A.最小值6 B.最小值8 C.最大值4 D.最大值3‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵x>0,‎ 则x++2≥2+2=8,当且仅当x=3时取等号.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由条件根据渐近线方程,分类讨论,求得双曲线C的离心率的值.‎ ‎【解答】解:当焦点在x轴上时,由题意可得=,设a=3k,b=k,∴c==4k,‎ ‎∴=.‎ 当焦点在y轴上时,由题意可得=,设b=3k,a=k,∴c==4k,‎ ‎∴==.‎ 综上可得,双曲线C的离心率为或,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】由抛物线y2=12x可得2p=12,解得p.可得焦点F(,0),准线l的方程为x=﹣.设所求点P的坐标为(x0,y0),利用|PF|=即可得出.‎ ‎【解答】解:由抛物线y2=12x可得2p=12,解得p=6.‎ ‎∴焦点F(3,0),准线l的方程为x=﹣3.‎ 设所求点P的坐标为(x0,y0),则|PF|==x0+3.‎ ‎∵|PF|=6,∴x0+3=6,解得x0=3.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y的最大值为(  )‎ A.﹣3 B. C.5 D.6‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移,可得当x=2,y=﹣1时,z取得最大值5.‎ ‎【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,‎ 其中A(﹣1,﹣1),B(2,﹣1),C(0.5,0.5)‎ 设z=F(x,y)=2x﹣y,将直线l:z=2x﹣y进行平移,‎ 当l经过点B时,目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F(2,﹣1)=5‎ 故选:C ‎ ‎ ‎12.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1,作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=‎ 整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e.‎ ‎【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),‎ ‎∵∠F1PF2=60°,‎ ‎∴=,‎ 即2ac=b2=(a2﹣c2).‎ ‎∴e2+2e﹣=0,‎ ‎∴e=或e=﹣(舍去).‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分 ‎13.∃x0∈R,x02+2x0﹣3=0的否定形式为 ∀x∈R,x2+2x﹣3≠0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定:‎ ‎【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定:‎ ‎∀x∈R,x2+2x﹣3≠0,‎ 故答案为:∀x∈R,x2+2x﹣3≠0.‎ ‎ ‎ ‎14.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,求a的值.‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】首先求出x,y的平均数,根据所给的线性回归方程知道b的值,根据样本中心点满足线性回归方程,把样本中心点代入,得到关于a的一元一次方程,解方程即可.‎ ‎【解答】解: =(1+2+3+4)=2.5, =(4.5+4+3+2.5)=3.5,‎ 将(2.5,3.5)代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,可得3.5=﹣1.75+a,‎ 故a=5.25.‎ ‎ ‎ ‎15.如图是函数y=f(x)的导函数图象,给出下面四个判断:‎ ‎①f(x)在区间[﹣2,1]上是增函数;‎ ‎②x=﹣1是f(x)的极小值点;‎ ‎③f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;‎ ‎④x=1是f(x)的极大值点.‎ 其中,判断正确的是 ②③ .(写出所有正确的编号)‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【分析】根据函数导数符号和函数单调性的关系,极值的概念,以及在极值点处导数的取值情况即可说明每个判断的正误.‎ ‎【解答】解:①x∈[﹣2,﹣1)时,f′(x)<0;‎ ‎∴f(x)在[﹣2,﹣1)上是减函数;‎ ‎∴该判断错误;‎ ‎②x∈[﹣2,﹣1)时,f′(x)<0;x∈(﹣1,1]时,f′(x)>0;‎ ‎∴x=﹣1是f(x)的极小值点;‎ ‎∴该判断正确;‎ ‎③x∈[﹣1,2]时,f′(x)≥0;x∈[2,4]时,f′(x)≤0;‎ ‎∴f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;‎ ‎∴该判断正确;‎ ‎④f′(1)>0,所以x=1不是f(x)的极大值点;‎ ‎∴该判断错误;‎ ‎∴判断正确的是:②③.‎ 故答案为:②③.‎ ‎ ‎ ‎16.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,则b= 1 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出导数,求出切线的斜率,化简求解即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x2+bx可得f′(x)=2x+b,‎ 函数的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直,‎ 可得:2+b=3,解得b=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an+4n,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差d=2,由此能求出an=2n.‎ ‎(2)由bn=an+4n=2n+4n,利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)∵数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=2,S3=12,‎ ‎∴,‎ 解得d=2,‎ ‎∴an=2+(n﹣1)×2=2n.‎ ‎(2)∵bn=an+4n=2n+4n,‎ ‎∴Tn=2(1+2+3+…+n)+(4+42+43+…+4n)‎ ‎=2×+‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac ‎(1)求角B;‎ ‎(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由余弦定理变形已知式子可得cosB的值,可得B值;‎ ‎(2)由题意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形为直角三角形,由面积公式可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,‎ ‎∴ac=a2+c2﹣b2,∴‎ ‎∵B∈(0,π),∴;‎ ‎(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,‎ 代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,‎ 解得,,满足a2+b2=c2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,‎ ‎∴△ABC的面积S=×2×6=6.‎ ‎ ‎ ‎19.设命题p:函数y=kx+1在R上是增函数.命题q:∃x∈R,x2+2kx+1=0.如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求k的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】分别求出p,q为真时的k的范围,根据p,q一真一假,得到关于k的不等式组,解出即可 ‎【解答】解:命题p真:∵y=kx+1在R递增,∴k>0‎ 命题q真:由∃x∈R,x2+2kx+1=0,得方程x2+2kx+1=0有根,‎ ‎∴△=(2k)2﹣4≥0,解得k≥1或k≤﹣1.‎ ‎∵p∧q是假命题,p∨q是真命题,‎ ‎∴命题p,q一真一假,‎ ‎①若p真q假,则k>0且⇒﹣1<k<1⇒0<k<1.‎ ‎②若p假q真,则k<0且k≥1或k≤﹣1.⇒﹣k≤﹣1.‎ 综上k的范围是(0,1)∪(﹣∞,﹣1].‎ ‎ ‎ ‎20.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人,结果如下:‎ 男 女 合计 需要 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎430‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;‎ ‎(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.50‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)用频率估计概率,从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值;‎ ‎(2)由公式计算k的值,从而查表即可.‎ ‎【解答】解:(1)需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为=14%;‎ ‎(2)由代入得,‎ k=≈9.967>6.635;‎ 查表得P(K2≥6.635)=0.01;‎ 故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3‎ ‎(1)求函数的解析式 ‎(2)写出它的单调区间 ‎(3)求此函数在[﹣2,2]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求出y′,由x=1时,函数有极大值3,所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程,求出a、b即可;‎ ‎(2)令y′>0解出得到函数的单调增区间,令y′<0得到函数的单调减区间;‎ ‎(3)由(2)求出函数的极值,再计算出函数在x=﹣2,x=2处的函数值,进行比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值;‎ ‎【解答】解:(1)y′=3ax2+2bx,当x=1时,y′|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,‎ 即,解得a=﹣6,b=9,‎ 所以函数解析式为:y=﹣6x3+9x2.‎ ‎(2)由(1)知y=﹣6x3+9x2,‎ y′=﹣18x2+18x,令y′>0,得0<x<1;令y′<0,得x>1或x<0,‎ 所以函数的单调递增区间为(0,1),函数的单调递减区间为(﹣∞,0),(1,+∞).‎ ‎(3)由(2)知:当x=0时函数取得极小值为0,当x=1时函数取得极大值3,‎ 又y|x=﹣2=84,y|x=2=﹣12.‎ 故函数在[﹣2,2]上的最大值为84,最小值为﹣12.‎ ‎ ‎ ‎22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F并且经过点A(1,﹣2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过F作倾斜角为45°的直线l,交抛物线C于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN的面积.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),解得p即可得出.‎ ‎(2)F(1,0).设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为:y=x﹣1.与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得:|MN|=.利用点到直线的距离公式可得:原点O到直线MN的距离d.利用△OMN的面积S=即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(1,﹣2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得(﹣2)2=2p×1,解得p=2.‎ ‎∴抛物线C的方程为:y2=4x.‎ ‎(2)F(1,0).‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 直线l的方程为:y=x﹣1.‎ 联立,‎ 化为x2﹣6x+1=0,‎ ‎∴x1+x2=6,x1x2=1.‎ ‎∴|MN|===8.‎ 原点O到直线MN的距离d=.‎ ‎∴△OMN的面积S===2.‎ ‎ ‎