2017-2018学年河南省豫西名校高二下学期第二次联考数学（理）试题-解析版 17页

绝密★启用前 河南省豫西名校 2017-2018 学年高二下学期第二次联考数学 （理）试题 评卷人 得分 一、单选题 1．设集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：解出和 M 中的不等式，得到元素满足的条件，根据交集运算得到结果. 详解：集合 ， ，则 . 故答案为：A. 点睛：这个题目考查的是集合的交集运算，二次不等式的解法. 2．若复数 满足 ,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】分析：求出复数 ，进而得到 即可得到结论. 详解： 即 在复平面内对应的点位于第一象限 点睛：本题考查复数的基本概念，考查复数的除法，复数的共轭复数，属基础题. 3．设命题 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论， 存在的否定为任意，所以命题 的否命题应该为 ，即本题的正确选项 为 C. 2: , 2nP n N n∃ ∈ > P¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ = 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 考点：原命题与否命题. 视频 4．已知双曲线过点 ，渐近线方程为 ，则曲线的标准方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为： ﹣x2=λ，将点 （2，3）代入方程中，计算可得 λ 的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方 程即可得答案． 详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为 ，则可以设其方程为： ﹣x2=λ， （λ≠0）， 又由双曲线过点（2，3）， 则有 3﹣22=λ， 解可得 λ=﹣1， 则其方程为： ﹣x2=﹣1．即 x2﹣ =1， 故选：C． 点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知 双曲线的渐近线方程为 ，则可以设双曲线方程为 ，再代入一个已知点即 可求得方程. 5．已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】分析：结合题意设出 的坐标，求出 的坐标，从而求出 的模即 可． 详解：平面向量 的夹角为 ，且 ， 不妨设 =（1，0）， =（ ， ）， 则 =（ ，﹣ ）， 故| |=1， 故选：A． 点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的 形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量， 或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合. 6．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的第三项为( ) A. 3 B. -4 C. -5 D. 6 【答案】C 【解析】分析：设数列{a n}的公差是 d，由 2S 3﹣3S2=15，可得 2（a 1+a2+a3 ）﹣3 （a1+a2）=15，再利用等差数列的通项公式即可得出． 详解：设等差数列{an}的公差为 d， ∵ ， ∴3a1﹣2（a1+a2+ a3）=15=3a1-6 a2 ∴ 故选：C． 点睛：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或 者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 7．将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，∴ ，故选 D. 8．已知偶函数 在 单调递减，若 ，则满足 的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵偶函数 在 单调递减，且 ， ∴函数 在 单调递增，且 ． 结合图象可得不等式 等价于 或 ， 即 或 ， 解得 或 ． 故 的取值范围为 ．选 A． 9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥 ，其中三棱锥的高为 ，底面 2 4 2 2 3+ + 2 2 2 4 3+ + 2 6 3+ 8 4 2+ P ABC− 2 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 边 长 为 ， 表 面 积 为 ，故选 A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以 及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能 力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不 但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及 相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 10．已知实数 满足 则 的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 题 意 作 出 其 平 面 区 域 如 图 所 示 ， 由 题 意 可 得 ， ， 则 ， 则 ，故 的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立，故选 A. 11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ， ， ， 为其左右顶 点，以线段 ， 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 ， 则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2 ABC PBC PAC PABS S S S S∆ ∆ ∆ ∆= + + + 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 3= + + + = + + 【解析】双曲线 的渐近线方程为 以 ， 为直径的圆的方程为 将直线 代入圆的方程，可得： （负的舍去）， 即有 ，又 ，则直线 的斜率 又 ，则 即有 则离心率 故选 12．在三棱锥 中， ， ， ，则 三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】该三棱锥的图象如图所示， 由 ， ， ， 可 得 ， ，易证 平面 . 在 中，由余弦定理可得 ，即 A BCD− 1AB AC= = 2DB DC= = 3AD BC= = A BCD− π 4π 7π 9π 1AB AC= = 2DB DC= = 3AD BC= = AB AD⊥ AC AD⊥ AD ⊥ ABC ABC∆ 2 2 2 1cos 2 2 AB AC BCBAC AB AC + −∠ = =⋅ 120BAC∠ = ° 以 为 轴，以 为 轴建立如图所示的坐标系，则 ， ， ， 设 三 棱 锥 的 外 接 球 球 心 为 ， 则 解得： ∴外接球的半径为 ∴外接球的表面积为 ，故选 C. AC x AD z ( )0 0 0A ，， 1 3 02 2B  −    ， ， ( )1 0 0C ，， ( )0 0 3D ，， A BCD− ( )M x y z， ， ( ) ( )22 222 2 2 2 2 2 2 21 3 1 32 2x y z x y z x y z x y z   + + = + + − + = − + + = + + −        1 3 3 2 2 2x y z= = =， ， 2 2 2 7 2r x y z= + + = 24 7S rπ π= = 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知向量 ， ，若 ，则实数 __________． 【答案】 【解析】由题意， ，则 。 14．曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 . 【解析】分析：求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方 程． 详解：y=e﹣5x+3 的导数 y′=﹣5e﹣5x， 则在 x=0 处的切线斜率为﹣5e0=﹣5，切点为（0，3）， 则在 x=0 处的切线方程为：y=﹣5x+3，即为 5x+y﹣3=0． 故答案为：5x+y﹣3=0． 点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函 数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点 斜式写出直线方程. 15．一个口袋中装有大小相同的 2 个黑球和 3 个红球，从中摸出两个球，若 表示摸出 黑球的个数，则 __________． 【答案】 . 【解析】分析：由题意可得：X=0，1，2．利用超几何分布列的计算公式即可得出． 详解：由题意可得：X=0，1，2． P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ． 可得 X 的分布列： X 0 1 2 P ∴EX= ． 故答案为： ． 方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判 断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利 用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布 列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的 概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期 望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此 随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得. 16．等差数列 中， ， .若记 表示不超过 的最大整数，（如 ）.令 ，则数列 的前 2000 项和为__________． 【答案】5445. 【解析】分析：设等差数列{an}的公差为 d，由 a3+a4=12，S7=49．可得 2a1+5d=12， d=49，解出即可得出； b n=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，n=1，2，3，4，5 时， bn=0.6≤n≤50 时，bn=1；51≤n≤500 时，bn=2；501≤n≤2000 时，bn=3．即可得出． 详解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3+a4=12，S7=49． ∴2a1+5d=12， d=49， 解得 a1=1，d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]， n=1，2，3，4，5 时，bn=0． 6≤n≤50 时，bn=1； 51≤n≤500 时，bn=2； 501≤n≤2000 时，bn=3． ∴数列{bn}的前 2000 项和=45+450×2+1500×3=5445． 故答案为：5445. 点睛：本题考查了等差数列的通项公式、取整函数的性质、数列求和，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式， 一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求 和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 评卷人 得分 三、解答题 17．设函数 . (1)求函数 的最小正周期 及最大值； (2)求函数 的单调递增区间. 【答案】（1）1；（2） 【解析】分析：（1）利用两角和与差的三角函数将 化为 ，即可求得函数 的最小正周期 及最大值； （2）由（1）中函数 的解析式求其单调递增区间． 详解： (1) ，当 ，即 时， 取最大值为 1. (2)令 ， 的单调递增区间为 . （缺少 应适当扣分） 点睛：本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性与最值，考查规范答题 与运算能力，属于中档题． 18．在等差数列 中， ，公差 ，记数列 的前 项和为 . (1)求 ； (2)设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 . 【答案】(1) . （2） . 【解析】分析：(1)先根据条件求首项，再根据通项公式求 ，最后根据新等差数列 求 和 公 式 求 结 果 ，（ 2 ） 先 根 据 ， ， 成 等 比 数 列 ， 求 出 ； 再 化 简 ，利用裂项相消法求 ，即得结果. 详解：（1）∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ． （2）若 ， ， 成等比数列，则 ， 即 ，∴ ． ∵ ， ∴ ． 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消 中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差 数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还 有一类隔一项的裂项求和，如 或 . 19．如图，四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， , 为 的中 点， . (1)求证：直线 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析. （2） . 【解析】分析：（1）根据三角形的边长和角度关系得到 ， ，进而得到线 面平行；（2）建立坐标系得到面的法向量和线的向向量，进而得到夹角.. 详解： (1)证明： ， , ，又 ， , ∴直线 平面 . (2)如图建立所示的空间直角坐标系 . . ， 设平面 的法向量 ， ， . ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 点睛：这个题目考查了线面垂直的证法，和线面角的求法，传统方法求线面角和二面角， 一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的 线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角 坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角. 20．某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 （万人）与餐厅所用原材料数量 （袋），得到如下统计表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参 会 人 数 （ 万 人） 13 9 8 10 12 原材料 （袋） 32 23 18 24 28 (1)根据所给 5 组数据，求出 关于 的线性回归方程 . (2)已知购买原材料的费用 （元）与数量 （袋）的关系为 ， 投入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本 次交易大会大约有 15 万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多 少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润 销售收入-原材料费 用）. 参考公式： . 参考数据： ， . 【答案】(1) . （2）餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为 11520 元. 【解析】试题分析：（1）根据公式求出 b，再将样本中心代入求出 a，进而得到回归方 程；（2） ，利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数 的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润 值. 解析： (1)由所给数据可得： ， ， ， ， 则 关于 的线性回归方程为 . (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当 时， ，即预计需要原材料 袋， 因为 ，所以当 时， 利润 ，当 时， ； 当 时，利润 ，当 时， . 综上所述，餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为 11870 元. 21．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，点 是抛物 线 上一点，且 . (1)求 的值； (2)若 为抛物线 上异于 的两点，且 .记点 到直线 的距离分别为 ,求 的值. 【答案】(1) . （2）16. 【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求 p 的值.(2)先求出 a 的值，再联立直线的方程 和抛物线的方程得到韦达定理，再求 |(y1＋2) (y2＋2)|的值. 详解：（1）因为点 A(1，a) (a＞0)是抛物线 C 上一点，且 AF=2， 所以 ＋1＝2，所以 p＝2. （2）由(1)得抛物线方程为 y2＝4x． 因为点 A(1，a) (a＞0)是抛物线 C 上一点，所以 a＝2． 设直线 AM 方程为 x－1＝m (y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 消去 x，得 y2－4m y＋8m－4＝0， 即(y－2)( y－4m＋2)＝0，所以 y1＝4m－2． 因为 AM⊥AN，所以－ 代 m，得 y2＝－ －2， 所以 d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－ )|＝16． 点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的 掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到 d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到 韦达定理,再利用韦达定理解答. 22．已知函数 有两个不同的零点 . (1)求 的最值； (2)证明： . 【答案】(1) ，无最小值. （2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出导函数，由函数 有两个不同的零点，则 在 内必不单调，得 ，进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值． （2）由题意转化为证明 ，不妨设 ，令 ，只需 证明 ，设 ，根据函数的单调性，即可作出证明． 试题解析： （1） ， 有两个不同的零点， ∴ 在 内必不单调，故 ， 此时 ，解得 ， ∴ 在 上单增， 上单减， ∴ ，无最小值． （2）由题知 两式相减得 ，即 ， 故要证 ，即证 ，即证 ， 不妨设 ，令 ，则只需证 ， 设 ，则 ， 设 ，则 ，∴ 在 上单减， ∴ ，∴ 在 上单增， ∴ ，即 在 时恒成立，原不等式得证． 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻 辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的 应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义； (2)利用导数求函数的 单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决 函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．