数学理卷·2018届北京市东城区第171中学高三上学期期中考试试题 17页

北京东城区第一七一中学2017—2018学年度 高三数学（理科）期中考试试题 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分 ‎1. 已知是虚数单位，复数（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D.‎ ‎2. 已知集合，集合，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由中的不等式变形得：，得到，由中的不等式变形得：，得到，即，则，故选A.‎ ‎3. 在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.‎ ‎4. 已知中，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎5. 已知不等式组，表示的平面区域的面积等于，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎4‎ 过定点表示直线的下方，，则由图象可知，由，解得，即，则的面积，故，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎6. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为（左视图为正视图，右图为左视图，下图为俯视图）（ ）．‎ A. 立方丈 B. 立方丈 C. 立方丈 D. 立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.‎ ‎7. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）．‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示，平行四边形中，对角线与交于点，根据向量加法原理可得，故选B.‎ ‎8. 设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（ ）．‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以开口向上，有两个零点，最小值必然小于，当取得最小值时，，即，令，则，必有两个零点，同理，由于是对称轴，开口向上，，必有两个零点，所以“”是“与”都恰有两个零点的充要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎9. 在的展开式中，含的项的系数是__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】展开式中含项的系数分别为， 系数的和为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎10. 设是等差数列的前项和，若，，则公差__________．‎ ‎__________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 40‎ ‎【解析】由题意，， ① ， ②‎ ‎②-①得，，即，由等差数列的前项和公式和性质可得：，故答案为.‎ ‎11. 过点的直线将圆分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由条件知点在圆内，故当劣弧最短时，应与圆心与点的连线垂直，设圆心为，则直线的斜率的方程为，即，故答案为.‎ ‎12. 若函数是奇函数，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设，则，结合奇函数的性质可得：，故答案为.‎ ‎13. 将、、、、、六个字母排成一排，且、均在的同侧，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】按的位置分类，在左1 ，左2 ，左3 ，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可，当在左边第1个位置时，有，当 在左边第2个位置时，和有右边的4个位置可以选，有，当在左边第3个位置时，有,共为种，乘以2得，则不同的排法共有 种，故答案为.‎ ‎14. 对于一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数，计算__________；若，，为数列的前项和，则__________．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】为不大于的最大整数， ，为高斯实数或取实数，若，，，， ，故答案为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分 ‎15. （本小题共分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若的最小正周期为，求的单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像的一条对称轴为，求的值．‎ ‎【答案】(1) 增区间为，．(2)或 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式将化成的形式，再利用的周期为，根据周期公式列方程求 ，利用正弦函数的单调性列不等式可得的单调递增区间；（2）∵是的一条对称轴，∴‎ ‎，，取特殊值，结合条件，即可求得的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎∵的最小正周期是，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 令，，得，，‎ ‎∴的单调增区间为，．‎ ‎（Ⅱ）∵是的一条对称轴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴或．‎ ‎16. （本小题共分）‎ 袋子里有完全相同的只红球和只黑球，今从袋子里随机取球．‎ ‎（Ⅰ）若有放回地取次，每次取一个球，求取出个红球个黑球的概率．‎ ‎（Ⅱ）若无放回地取次，每次取一个球，若取出每只红球得分，取出每只黑球得分，求得分的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题可先算出取出红球和黑球的概率，再求取3次2个红球1个黑球的概率，可知为独立重复试验（有放回），运用独立重复试验的概率公式可求；（注意规范解题格式）‎ ‎（2）由题意（无放回），先分析出的可能取值，再分别求出对应的概率，可列出分布列（为超几何分布），代入期望公式可得。‎ 试题解析：（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则 ‎（2）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：‎ ‎，,‎ ‎，．‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而得分的数学期望．‎ 考点：（1）独立重复试验的概率；（2）离散型随机变量分布列（超几何分布）及期望。‎ ‎17. （本小题共分）‎ 在四棱锥中，平面，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明．‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方法向量，再根据向量数量积为零进行证明（2）先利用方程组解得各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得二面角的余弦值；（3）根据共线关系设点坐标，利用线面角得等量关系，解方程可得的值.‎ 试题解析：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，‎ ‎（1），，‎ ‎∵∴‎ ‎（2），，平面的法向量为 ‎，，平面的法向量为.‎ ‎，二面角的余弦值为.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ 设为直线与平面所成的角 ‎，解得（舍）或.‎ 所以，即为所求.‎ ‎18. （本小题共分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值．‎ ‎（Ⅲ）设，求在区间上的最大值．（其中为自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）减区间是和，增区间是，（2），．（3）当时，的最大值为，当时，的最大值为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；(2)直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数的值；(3)先求出的导函数，分情三种况讨论，分别利用导数研究函数在区间上的单调性，进而求得其在区间上的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ），，‎ 在区间和上，，在区间上，，‎ ‎∴的单调减区间是和，单调增区间是．‎ ‎（Ⅱ）设切点坐标为，‎ 则：，‎ 解得，．‎ ‎（Ⅲ），‎ 则，‎ 令，‎ 得，‎ ‎∴在区间上，为减函数，‎ 在区间上，为增函数．‎ 当，‎ 即时，在区间上，为递增函数，‎ ‎∴的最大值为，‎ 当，‎ 即时，在区间上，为减函数，‎ ‎∴的最大值为，‎ 当，‎ 即时，的最大值为和中较大者，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴时，的最大值为，‎ 时，的最大值为．‎ 综上所述，当时，的最大值为，‎ 当时，的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题共分）‎ 已知，为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率．‎ ‎（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．‎ ‎【答案】（1） (2)详见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的特征可得当点在点时，面积最大，即可列，由题目条件知，结合，进而求得椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）设，由题意可设直线的方程为，可得点与中点的坐标，联立直线与椭圆的方程得，进而表示出点的坐标，结合点，再写出直线的方程，根据点到直线的距离等于直径的一半，进而解得此问．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．‎ 由题意知解得，．‎ 故椭圆的方程为，离心率为．‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．‎ 证明如下：由题意可设直线的方程为 ．‎ 则点坐标为，中点的坐标为．‎ 由得．‎ 设点的坐标为，则．‎ 所以，．‎ 因为点坐标为，‎ 当时，点的坐标为，点的坐标为．‎ 直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．‎ 当时，则直线的斜率．‎ 所以直线的方程为．‎ 点到直线的距离 ．‎ 又因为，所以．‎ 故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．‎ 考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的综合问题．‎ ‎20. （本小题共分）‎ 若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，，若，则称为最佳排列．‎ ‎（Ⅰ）写出所有的最佳排列．‎ ‎（Ⅱ）证明：不存在最佳排列．‎ ‎（Ⅲ）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据最佳排列的定义可得，最佳排列为、、、、‎ ‎、；（Ⅱ）由，可得，，，，之中有个，个，而经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得；（Ⅲ）与每个人有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，设， ，中有个，个，则，可得，解得或，从而得出结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）最佳排列为、、、、、．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 因为，‎ 所以，，，，之中有个，个，‎ 按的顺序研究数码变化，‎ 有上述分析可知由次数码不发生改变，有次数码发生了改变，‎ 但是经过奇数次数码改变不能回到自身，‎ 所以不存在，‎ 使得，‎ 从而不存在最佳排列．‎ ‎（Ⅲ）由或，，，，‎ 得，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 以上各式求和得，，‎ 另一方面，还可以这样求和：设， ，中有个，个，‎ 则，‎ 所以，‎ 得或，‎ 所以排列中的个数是或个．‎ ‎ ‎ ‎ ‎