数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二上学期第二次联考数学试卷（文科）（解析版） 17页

‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）‎ ‎1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎3．若f（x）=ex，则=（　　）‎ A．e B．﹣e C．2e D．﹣2e ‎4．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．（，+∞） C．（﹣，+∞） D．[﹣，+∞）‎ ‎5．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎6．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1‎ C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞1‎ ‎7．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣ D．x≤﹣或x≥3‎ ‎8．在等差数列{an}中，“a1＜a3”是“数列{an}是单调递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎9．已知命题p：∃x∈R，cosx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题 C．（￢p）∧（￢q）是真命题 D．（￢p）∨（￢q）是真命题 ‎10．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎11．椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过双曲线的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，F2为右焦点，若，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=　　．‎ ‎14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=　　．‎ ‎15．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程　　．‎ ‎16．在极坐标系中，点P的距离等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎17．求下列函数的导数 ‎（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）‎ ‎（2）．‎ ‎18．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：函数y=（m+2）x﹣1是R上的单调增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎21．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程．‎ ‎（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与抛物线交于B，C两点，且满足•=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎22．椭圆的离心率为，短轴长为2，若直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）‎ ‎1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．‎ ‎【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．‎ 再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，‎ 即点P的极坐标为 （2，），‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将抛物线化成标准方程，得x2=﹣4y，由此求出=1，即可得到该抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2=﹣4y，‎ ‎∴2p=4，可得=1，‎ 因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y=1．‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．若f（x）=ex，则=（　　）‎ A．e B．﹣e C．2e D．﹣2e ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】根据导数和定义和导数的法则计算即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex，‎ ‎∴f′（x）=ex，则 ‎∴=f′（1）=e，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．（，+∞） C．（﹣，+∞） D．[﹣，+∞）‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围 ‎【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣x+2，∴‎ ‎∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．‎ ‎【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1‎ C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题的否定为∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣ D．x≤﹣或x≥3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：解不等式2x2﹣5x﹣3≥0，得：x≥3或x≤﹣，‎ 故不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是：‎ x＜0或x＞2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在等差数列{an}中，“a1＜a3”是“数列{an}是单调递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，若a1＜a3，则2d＞0，d＞0，即数列{an}为单调递增数列，‎ 若数列{an}为单调递增数列，则a1＜a3，成立，‎ 即“a1＜a3”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知命题p：∃x∈R，cosx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题 C．（￢p）∧（￢q）是真命题 D．（￢p）∨（￢q）是真命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】利用余弦函数的性质说明命题p为真命题，利用配方法求得x2﹣x+1的范围，说明命题q为假命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，所以命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，为真命题；‎ 由cosx≤1，可知命题p：∃x∈R，cosx=2是假命题．‎ 故由以上可知：‎ ‎￢p是真命题；q是真命题；pⅤq是真命题；命题“p∧q”是假命题；命题（￢p）∨（￢q）是真命题．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；‎ ‎（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ ‎【解答】解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．‎ ‎∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设P是双曲线右支上的一点，设|PF1|=m，|PF2|=n．可得，解得mn=3．|F1F2|=4．再利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：设P是双曲线右支上的一点，设|PF1|=m，|PF2|=n．‎ 则，解得mn=3．‎ ‎|F1F2|=4．‎ ‎∴cos∠F1PF2====．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．过双曲线的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，F2为右焦点，若，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设条件推出|PF1|，|F1F2|的关系，通过c2﹣a2=b2，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题设知|PF1|=，‎ ‎∵∠F1PF2=60°，‎ ‎∴|PF1|=|F1F2|=|F1F2|，‎ ‎∴=，‎ ‎∵c2﹣a2=b2，‎ ‎∴c2﹣a2=ac，‎ ‎∴e2﹣2e﹣=0，‎ ‎∴e=或e=﹣（舍）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=　﹣3　．‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】先将x=2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．‎ ‎【解答】解：由已知切点在切线上，‎ 所以f（2）=﹣1，‎ 切点处的导数为切线斜率，‎ 所以f'（2）=﹣2，‎ 所以f（2）+f′（2）=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=　5　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由函数解析式，求导，f′（1）=2f′（1）+2，代入即可求得f′（1）=﹣2，求得函数解析式，即可求得f（﹣1）．‎ ‎【解答】解：f（x）=2xf′（1）+x2，求导f′（x）=2f′（1）+2x，‎ f′（1）=2f′（1）+2，‎ ‎∴f′（1）=﹣2，‎ ‎∴f（x）=﹣4x+x2，‎ ‎∴f（﹣1）=4+1=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎15．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】依题意，设双曲线的方程为9x2﹣16y2=λ，将点，代入可求λ，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为9x2﹣16y2=λ，‎ ‎∵该双曲线经过点，‎ ‎∴λ=9×12﹣16×9=﹣36．‎ ‎∴所求的双曲线方程为：9x2﹣16y2=﹣36，即 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．在极坐标系中，点P的距离等于　　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【分析】点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．‎ ‎【解答】解：在极坐标系中，点P化为直角坐标为，化为，到的距离，即为P的距离，所以距离为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎17．求下列函数的导数 ‎（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）‎ ‎（2）．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】（1）将函数解析式化为多项式的形式，然后利用导数的运算法则求导；‎ ‎（2）利用导数的运算法则分别对各个加数求导即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=x3+6x2+11x+6，则f′（x）=3x2+12x+11；‎ ‎（2）．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：函数y=（m+2）x﹣1是R上的单调增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞‎ ‎0，解得m；命题q：函数y=（m+2）x﹣1是R上的单调增函数，可得m+2＞0，解得m．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p与q必然一真一假．‎ ‎【解答】解：命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m＞0，解得m＜1；‎ 命题q：函数y=（m+2）x﹣1是R上的单调增函数，∴m+2＞0，解得m＞﹣2．‎ 若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，‎ ‎∴p与q必然一真一假．‎ 当p真q假时，，解得m≤﹣2．‎ 当q真p假时，，解得m≥1．‎ ‎∴实数m的取值范围是m≤﹣2或m≥1．‎ ‎　‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，‎ ‎∴x2+y2+12x+11=0，‎ ‎∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，‎ ‎∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．‎ ‎（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），‎ ‎∴直线l的一般方程y=tanα•x，‎ ‎∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，‎ ‎∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，‎ 解得tan2α=，∴tanα=±=±．‎ ‎∴l的斜率k=±．‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，‎ 即有椭圆C1： +y2=1；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，‎ 即有ρ（sinθ+cosθ）=2，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，‎ 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，‎ ‎|PQ|取得最值．‎ 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，‎ 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，‎ 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，‎ 解得t=±2，‎ 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，‎ 即有|PQ|==，‎ 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，‎ 即为P（，）．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程．‎ ‎（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与抛物线交于B，C两点，且满足•=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5，求出p，即可求出抛物线的标准方程；‎ ‎（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5，‎ ‎∴4+=5，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=4x；‎ ‎（2）由题可设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0），‎ 代入抛物线方程得y2﹣4ky+4k=0；△=16k2﹣16k＞0⇒k＜0ork＞1，‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=4k，‎ 由•=0，即x1x2+y1y2=0⇒（k2+1）y1y2﹣k2（y1+y2）+k2=0，‎ 解得k=﹣4或k=0（舍去），‎ ‎∴直线l存在，其方程为x+4y﹣4=0．‎ ‎　‎ ‎22．椭圆的离心率为，短轴长为2，若直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意设出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1﹣y2|，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得最值．‎ ‎【解答】解．（1）由题意，，解得a=2，b=1，‎ 故椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）存在△AOB面积的最大值．‎ ‎∵直线l过点E（﹣1，0），可设直线l的方程为 x=my﹣1．‎ 则，整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．‎ 由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则．‎ ‎∴|y1﹣y2|==．‎ ‎∴=．‎ 设，，．‎ 则g（t）在区间上为增函数，‎ ‎∴．‎ ‎∴，当且仅当m=0时取等号，即．‎ ‎∴S△AOB的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日