专题39 轨迹方程求解方法-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 29页

‎【高考地位】‎ 求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 直接法 使用情景：可以直接列出等量关系式 解题步骤：第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）‎ 第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。 ‎ 例1在平面直角坐标系中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式演练1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. （） B. （）‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵ 点，‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵动点满足 ‎ ∴点的轨迹方程是射线：（），故选A 例2【2018云南昆明一中模拟】已知点， ，动点满足，则点的轨迹为（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B． ‎ ‎【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；‎ ‎【答案】‎ 方法二 定义法 使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义 解题步骤：第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双 ‎ 曲线、抛物线等）‎ ‎ 第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。‎ 例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆的半径为，则，‎ ‎∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且， ，故所求的轨迹方程为.故选 C.‎ ‎【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）‎ A、 双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆 ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，点的轨迹为抛物线。‎ 例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．求点P的轨迹方程；‎ ‎【答案】‎ 试题解析：如图取连接， ，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支 ， ，的轨迹方程为： .‎ ‎【变式演练2】已知点和圆，过点的动直线与圆交于，则弦的中点的轨迹方程__________．‎ ‎【答案】‎ 方法三 相关点法（代入法）‎ 使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动 解题步骤：第一步 判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动 ‎ 第二步 求出关系式 ‎ 第三步 将点的坐标表达式代入已知曲线方程 例4 已知, 分别在轴和轴上运动， 为原点， ,点的轨迹方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式演练1】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为.设点的坐标是。‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程。‎ ‎【答案】⑴；⑵‎ ‎【解析】⑴椭圆中心在原点，左焦点为 例5 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，则 ‎ 又由AC⊥BD有，即，∴． ‎ ‎（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有 即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．‎ 要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．‎ ‎∴ 从而所求P的轨迹方程为． ‎ 考点：1轨迹问题;2椭圆的定义,简单几何性质．‎ ‎【变式演练2】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系，用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标，再代入已知曲线，化简即可。‎ 方法四 参数法 使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时 解题步骤：第一步 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；‎ ‎ 第二步 消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。‎ 例6、已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式演练1】已知圆，过点作直线交圆于两点，分别过两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ 方法五 交规法 使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题 解题步骤：第一步 解两曲线方程组得到 ‎ 第二步 消去动曲线中的参数。‎ 例7、已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上不同的两个动点，求直线交点的轨迹的方程。‎ ‎【答案】且。‎ ‎【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出点的两个坐标间的关系即可。‎ ‎【变式演练1】已知正方形的四个顶点分别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，‎ 所以直线的方程为，‎ 直线的方程为： ，设，‎ 则由，可得，‎ 消去可得．‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.‎ ‎(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程 ‎【高考再现】‎ ‎1、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 ‎ ‎【答案】(1) 。‎ ‎(2)证明略。‎ ‎ ２．【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．‎ ‎【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．‎ ‎3、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）‎ 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】⑴⑵直线l的斜率的取值范围为 ‎∴曲线C的方程为.‎ 而原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴S△DEF=‎ 若△OEF面积不小于2,即，则有 ‎ ③‎ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为。‎ ‎【反馈练习】‎ 1、设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A. (x－1)2＋y2＝4 B. (x－1)2＋y2＝2‎ C. y2＝2x D. y2＝－2x ‎【答案】B ‎【解析】设圆(x－1)2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，选B.‎ ‎2、【广东省韶关市十校2015届高三10月联考，理20】 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满的轨迹为曲线.‎ ‎ （I）求曲线的方程；‎ ‎ （II）若过定点的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.‎ ‎∴曲线E的方程为 ‎ 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 ‎3、【河北省唐山市第一中学2015届高三上学期期中考试，理20】已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶ (a>b>0)的右焦点F和上顶点B.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程；‎ ‎(2)如图，过原点O的射线与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P， M为OP的中点， 求的最大值．‎ 当时，，‎ 即的最大值为.‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系；4.导数的应用.‎ ‎4、【2018河省豫南豫北联考联】已知：如图，两同心圆： 和. 为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 则有，‎ 又因为圆与轴相切，‎ 所以 即（*）‎ 由消去x整理得，‎ 因为直线与椭圆交于两点，‎ 所以，解得。‎ 又 将上式代入（*）式中得，‎ 解得。满足。‎ 故所求的直线的方程为，‎ 即 ‎5. 已知椭圆： 的左焦点为， 为坐标原点，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求弦的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点， 为轴上一点，若是菱形的两条邻边，求点横坐标的取值范围.‎ ‎ 6. 已知点的坐标为，圆的方程为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且．‎ ‎（1）求点的轨迹方程．‎ ‎（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，求直线的方程，并判断直线与点所在曲线的位置关系．‎ ‎【解析】（1）设，点的坐标为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且，则点为， 的中点，所以得代入圆的方程．‎ ‎（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，则 ‎ ，则，设圆以为圆心，以为半径，‎ ‎，∴，‎ ‎∴．则EF为圆与圆的公共弦，‎ 联立， ，作差得直线EF方程 ‎∴， ，∴相交．‎ ‎7. 【2018广东汕头金山中学模拟】在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线 的弦. ，设. 的中点分别为．问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设动点，则，且，①‎ 又，得，‎ 代入①得动点的轨迹方程为．‎ ‎９．已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.‎ ‎【解析】（I）设动点，由于轴于点 又圆与直线即相切，∴圆 由题意，，得 即 将代入，得曲线的方程为 ‎ ‎（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设 联立，可得 ‎ 由求根公式得（*）‎ ‎∵以为直径的圆过坐标原点，即 即 化简可得，‎ 将（*）代入可得，即 即，又 将代入，可得 ‎ ‎ ‎∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．‎ ‎ 10. 在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅱ）设，当直线的斜率不为时，设直线，‎ 代入得： ， 恒成立.‎ 由根与系数的关系可得， ，‎ 设直线的斜率分别为，则由得，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴，将代入得，‎ 因此，故存在满足题意.‎ 当直线的斜率为时，直线为轴，取，满足，‎ 综上，在轴上存在一点，使得轴平分.‎