数学卷·2018届福建省泉州市南安一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科） （解析版） 25页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．已知复数z=，则（　　）‎ A．z的实部为﹣ B．z的虚部为﹣i C．|z|= D．z的共轭复数为+i ‎2．已知双曲线方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0‎ B．∀x∈N，x3＞x2‎ C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件 D．若a＞b，则a2＞b2‎ ‎4．函数f（x）=x2﹣5x+6，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设集合A={x||x﹣2|＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率p（k2≥10.83）≈0.001表示的意义是（　　）‎ A．变量X与变量Y有关系的概率为0.1%‎ B．变量X与变量Y有关系的概率为99%‎ C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%‎ D．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%‎ ‎7．已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（　　）‎ A．（1，） B．（，2） C．（，﹣2） D．（4，2）‎ ‎8．图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（　　）‎ A．510 B．512 C．1021 D．1022‎ ‎9．已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（1，4] B．[1，4） C．[1，4）∪（4，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎10．若点P在y=x2上，点Q在x2+（y﹣3）2=1上，则|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1‎ ‎11．若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎12．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． +1 C． +1 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．抛物线y2=4x的焦点到直线的距离是　　．‎ ‎14．在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中成绩最稳定的是　　．‎ ‎15．如图是计算的值一个程序框图，其中判断框内可填入的条件是　　．（请写出关于k的一个不等式）‎ ‎16．以下命题中：‎ ‎①命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”；‎ ‎②点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；‎ ‎③命题“若P则q”与命题“若非p则非q”互为逆否命题；‎ ‎④若过点C（1，1）的直线l交椭圆C： +=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y﹣7=0．‎ 其中真命题的序号是　　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知抛物线的标准方程是y2=6x，‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．‎ ‎18．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎（1）求抽取的轿车中，B类轿车的数量；‎ ‎（2）求z的值；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．‎ ‎19．设F1、F2分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．‎ ‎（Ⅰ）若椭圆C上的点A（，）到F1、F2两点的距离之和等于6，写出椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点M的轨迹方程．‎ ‎20．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆x2+y2=4相切．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点A，B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则 •=﹣7”，请判断命题P的真假，并证明．‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点（，）在C上 ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x0，0）（x0≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．‎ ‎（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（﹣x0，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．已知复数z=，则（　　）‎ A．z的实部为﹣ B．z的虚部为﹣i C．|z|= D．z的共轭复数为+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，分别求出z的实部，虚部，模，共轭复数，则答案可求．‎ ‎【解答】解：z==，‎ ‎∴z的实部为：；虚部为：；|z|=；共轭复数为：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知双曲线方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线方程确定几何量，即可得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1，‎ ‎∴a=3，b=‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=，即y=x 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0‎ B．∀x∈N，x3＞x2‎ C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件 D．若a＞b，则a2＞b2‎ ‎【考点】特称命题；充要条件；全称命题．‎ ‎【分析】A和B选项按全称命题和特称命题的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．‎ ‎【解答】解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：‎ B错，∵当x=1时，x3=x2；‎ C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1‎ ‎∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；‎ D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=x2﹣5x+6，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】首先求出f（x0）≤0的x0的范围，利用区间长度的比求概率．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），x∈[﹣5，5]，‎ 在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的x0的范围是[2，3]，‎ 由几何概型的公式得到使f（x0）≤0的概率是；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设集合A={x||x﹣2|＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】可求得集合A与集合B，再根据两集合之间的包含关系作出判断即可．‎ ‎【解答】解：∵|x﹣2|＜1，‎ ‎∴﹣1＜x﹣2＜1，‎ ‎∴1＜x＜3，‎ 即A={x|1＜x＜3}；‎ 又2x＞=2﹣1，‎ ‎∴x＞﹣1，‎ ‎∴B={x|x＞﹣1}；‎ ‎∴AB ‎∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率p（k2≥10.83）≈0.001表示的意义是（　　）‎ A．变量X与变量Y有关系的概率为0.1%‎ B．变量X与变量Y有关系的概率为99%‎ C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%‎ D．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据所给的估算概率，得到两个变量有关系的可信度是1﹣0.001，即两个变量有关系的概率是99.9%，这里不用计算，只要理解概率的意义即可．‎ ‎【解答】解：∵概率P（k2≥10.83）≈0.001，‎ ‎∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.001=99.9%，‎ 即两个变量有关系的概率是99.9%，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（　　）‎ A．（1，） B．（，2） C．（，﹣2） D．（4，2）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的定义可知：丨PF丨=丨PH丨，则|PA|+|PF|=|PA|+丨PH丨，则当A，P，H三点共线时，|PA|+丨PH丨取最小，即可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：由题意可知：A（5，2）在抛物线内部，设P（x，y）‎ 则由抛物线的定义可知：丨PF丨=丨PH丨，‎ 则|PA|+|PF|=|PA|+丨PH丨，则当A，P，H三点共线时，|PA|+丨PH丨取最小，‎ 则y=2，则x=4，‎ 故P点坐标为（4，2），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（　　）‎ A．510 B．512 C．1021 D．1022‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察图形可到这样一个规律，第二个图形比第一个图形多2×2个，第三个图形比第二个图形多4×2个，第四个图形比第三个图形多8×2个…第一个图形是1个，则第二个是5，第三个是13，…不难发现得到第9个图形中线段条数．‎ ‎【解答】解：通过观察，‎ 第一个图形有1个 第二个图形有1+2×2个 第三个图形有1+2×2+4×2个 第四个图形有1+2×2+4×2+8×2个 第五个图形有1+2×2+4×2+8×2+16×2个 第六个图形有1+2×2+4×2+8×2+16×2+32×2个 ‎…‎ ‎∴第9个图形有1+2（2+4+8+16+32+64+128+256）=1021（个）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（1，4] B．[1，4） C．[1，4）∪（4，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】方法一：由直线恒过点（0，1），当点（0，1）在椭圆内部时，直线与椭圆恒有公共点，求得m的取值范围，且m≠4，即可求得m的取值范围；‎ 方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△≥0，且m≠4，即可求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方法一：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，‎ 而点（0，1）在y轴上，则≤1且m＞0，得m≥1，‎ 而根据椭圆的方程中有m≠4，‎ 故m的范围是[1，4）∪（4，+∞），‎ 故选C．‎ 方法二：联立化为（m+4k2）x2+8kx+4﹣4m=0，‎ ‎∵直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，‎ ‎∴△=64k2﹣4（m+4k2）（4﹣4m）≥0，‎ 化为m2+（4k2﹣1）m≥0，‎ 由于m≠0，上式化为：m≥1﹣4k2，‎ 由于上式对k∈R恒成立，∴m≥1．‎ 由椭圆的定义可知：m≠4．‎ 综上可得m的取值范围是：[1，4）∪（4，+∞）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．若点P在y=x2上，点Q在x2+（y﹣3）2=1上，则|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得圆心圆心A（0，3），半径为1，设P（x，x2），丨PQ丨=丨AP丨﹣丨AQ丨==，由二次的性质即可求得|PQ|的最小值．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y﹣3）2=1的圆心A（0，3），半径为1，‎ ‎∵点P在抛物线y=x2上，设P（x，x2），‎ ‎∴丨PQ丨=丨AP丨﹣丨AQ丨==﹣1=，‎ 由二次函数的性质可知：当x2=时，丨PQ丨取最小值，最小值为：﹣1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），‎ 则△F1AB面积S=OF×|2y|=c|y|．‎ ‎∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，‎ 由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，‎ 则△F1AB面积的最大值为：cb=×4=12．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． +1 C． +1 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义可知和||=||，可得|PF2|=（+1）a，再根据（+）（﹣）=0，得到△OPF2为等边三角形，即可得到c=（+1）a，即可求出离心率．‎ ‎【解答】解：|PF1|﹣|PF2|=2a，||=||，‎ ‎∴|PF2|=（+1）a，‎ ‎∵（+）（﹣）=0，‎ ‎∴||=||，‎ 设Q为PF2的中点，‎ ‎∴+=2，﹣=，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴△OPF2为等边三角形，‎ ‎∴c=（+1）a，‎ ‎∴e==+1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．抛物线y2=4x的焦点到直线的距离是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用抛物线的性质，可求得抛物线y2=4x的焦点F（1，0），利用点到直线间的距离公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），‎ ‎∴点F（1，0）到直线x﹣y=0的距离d==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中成绩最稳定的是　丙　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据频率分布条形图所表示的意义，观察图象即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，分析条形图中的数据，知；‎ 丙图中的数据都分布在8附近，成单峰分布，最稳定；‎ 甲乙两图中的数据较分散些．‎ 故答案为：丙．‎ ‎　‎ ‎15．如图是计算的值一个程序框图，其中判断框内可填入的条件是　k＞5　．（请写出关于k的一个不等式）‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中最后一次进入循环时，‎ n=10，i=5‎ 即n≤10，i≤5时，进入循环，‎ 当n＞10，i＞5时，退出循环，输出S的值，结束．‎ 故答案为：k＞5．‎ ‎　‎ ‎16．以下命题中：‎ ‎①命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”；‎ ‎②点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；‎ ‎③命题“若P则q”与命题“若非p则非q”互为逆否命题；‎ ‎④若过点C（1，1）的直线l交椭圆C： +=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y﹣7=0．‎ 其中真命题的序号是　①②④　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对于①，写出命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定，即可判断①的正误；‎ 对于②，依题意，作出图形，利用抛物线的定义，可知|PA|+|PM|=|PA|+|PN|﹣=|PA|+|PF|﹣≥|AF|﹣，即可判断②的正误；‎ 对于③，写出命题“若P则q”的逆否命题，即可判断③的正误；‎ 对于④，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1， +=1，两式相减，结合C（1，1）是AB的中点，可得：kAB=﹣，从而可求得直线AB的方程，又即可判断④的正误．‎ ‎【解答】解：对于①，命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”，故①正确；‎ 对于②，点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），设点P在抛物线的准线x=﹣上的射影为N，作图如下：‎ 由抛物线的定义知，|PN|=|PF|，故|PM|=|PN|﹣，‎ 则|PA|+|PM|=|PA|+|PN|﹣=|PA|+|PF|﹣≥|AF|﹣=﹣=﹣=6，‎ 即|PA|+|PM|的最小值是6，故②正确；‎ 对于③，命题“若p则q”与命题“若非q则非p”互为逆否命题，与命题“若非p则非q”互为否命题，故③错误；‎ 对于④，若过点C（1，1）的直线l交椭圆C： +=1于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则+=1， +=1，‎ 两式相减，整理得：kAB=﹣•，又C（1，1）是AB的中点，‎ 所以x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 所以kAB=﹣，‎ 则直线l的方程是3x+4y﹣7=0，故④正确；‎ 综上所述，其中真命题的序号是①②④，‎ 故答案为：①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知抛物线的标准方程是y2=6x，‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=‎ ‎∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，‎ ‎（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，‎ ‎∴直线L的方程为y=x﹣，‎ 代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，‎ 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．‎ 故所求的弦长为12．‎ ‎　‎ ‎18．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎（1）求抽取的轿车中，B类轿车的数量；‎ ‎（2）求z的值；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法．‎ ‎【分析】（1）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，建立等式，即可求抽取的轿车中，B类轿车的数量；‎ ‎（2）求出抽取的轿车中，C类轿车的数量，即可求z的值；‎ ‎（3）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．‎ ‎【解答】解：（1）设抽取的轿车中，B类轿车的数量为x，则=，∴x=15；‎ ‎（2）抽取的轿车中，C类轿车的数量为50﹣10﹣15=25，则，∴z=400；‎ ‎（3）设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以，‎ 解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，‎ 则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，‎ 其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），‎ 所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为．‎ ‎　‎ ‎19．设F1、F2分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．‎ ‎（Ⅰ）若椭圆C上的点A（，）到F1、F2两点的距离之和等于6，写出椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，a=3．将点A（，）代入椭圆方程：，解得：b2=8，则c2=a2﹣b2=1，即可求得椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足x=，y=；求得x1=2x+1，y1=2y，代入椭圆方程，即可求得线段F1K的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，由A（，）到F1、F2两点的距离之和等于6，‎ 则2a=6，即a=3．‎ 又点A（，）在椭圆上，代入椭圆方程：，解得：b2=8，‎ 于是c2=a2﹣b2=1．…‎ ‎∴椭圆C的方程：，…‎ 焦点F1（﹣1，0），F2（1，0）；…‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足x=，y=；‎ 即x1=2x+1，y1=2y．…‎ 代入椭圆方程：，整理得：，‎ ‎∴所求的轨迹方程．…‎ ‎　‎ ‎20．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆x2+y2‎ ‎=4相切．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点A，B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则 •=﹣7”，请判断命题P的真假，并证明．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：准线l的方程为：y=﹣，准线l圆x2+y2=4相切，则=2，解得：p=4，即可求得抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，代入抛物线方程由韦达定理可知：x1•x2=﹣8，y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=﹣8k2+8k+1，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 •=x1•x2+y1•y2=﹣7．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0‎ 其准线l的方程为：y=﹣，‎ ‎∵准线l圆x2+y2=4相切，‎ ‎∴=2，解得：p=4，‎ 故抛物线线C的方程为：x2=8y；…．…‎ ‎（Ⅱ）命题p为真命题　…‎ 证明：直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），‎ 故所以直线m的斜率k一定存在，…‎ 设直线m：y=kx+1，交点A（x1，y1）B（x2，y2）．‎ 联立抛物线C的方程，‎ 整理得：x2﹣8kx﹣8=0，△=64k2+64＞0恒成立，…‎ 由韦达定理得：x1+x2=8k，x1•x2=﹣8，…‎ y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1•x2+k（x1+x2）+1=﹣8k2+8k+1‎ ‎•=x1•x2+y1•y2=﹣8+﹣8k2+8k+1=﹣7，‎ ‎∴命题P为真命题．…．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2‎ ‎=8x的焦点重合，点（，）在C上 ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），c=2，即a2﹣b2=4，将（，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆C方程；‎ 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点（，）在C上 ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得中点M坐标，根据斜率公式，直线OM的斜率为kOM==﹣，则kOM•k=﹣，则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得：c=2，即a2﹣b2=4，‎ 又点（，）在椭圆C上，可得，解得：a2=8，b2=4，‎ c2=a2﹣b2=4，‎ ‎∴C的方程：；…‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），…‎ ‎，整理得：（1+2k2）x2+4kbx﹣2b2﹣8=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，…‎ 即有AB的中点M的横坐标为xM==﹣，纵坐标为yM=k（﹣）+b=，…‎ 直线OM的斜率为kOM==﹣，即有kOM•k=﹣，‎ 故OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．…‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x0，0）（x0≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．‎ ‎（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（﹣x0，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定抛物线的方程，设出直线方程与抛物线方程联立，利用弦长|PQ|=2，即可求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，证明B（﹣x0，0），确定出x0，或m的范围，表示出点B到直线l的距离d，即可求得取值范围．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，，故抛物线方程为y2=x，焦点．﹣﹣﹣﹣‎ 设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 由消去x，得．‎ 所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为，点A与焦点F重合，‎ 所以．‎ 所以n2=1，即n=±1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以直线l的方程为或，‎ 即4x﹣4y﹣1=0或4x+4y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+x0（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x2，﹣y2）．‎ 由消去x，得y2﹣my﹣x0=0，‎ 因为，所以△=m2+4x0＞0，y1+y2=m，y1y2=﹣x0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 方法一：‎ 设B（xB，0），则．‎ 由题意知，，所以x2y1﹣y1xB=﹣x1y2+xBy2，‎ 即．‎ 显然y1+y2=m≠0，所以xB=y1y2=﹣x0，即证B（﹣x0，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以kPB=1，即，也即，‎ 所以y1﹣y2=1，所以，‎ 即m2+4x0=1，所以m2=1﹣4x0＞0，即 又因为，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，‎ 所以d的取值范围是 ‎．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 方法二：‎ 因为直线，‎ 所以令y=0，则，‎ 所以B（﹣x0，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以kPB=1，即，‎ 所以y1﹣y2=1，所以，即m2+4x0=1，所以m2=1﹣4x0＞0．‎ 因为，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以d的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎