【推荐】专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修2-1）x 12页

一、选择题 ‎1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆内有一点是其左、右焦点， 为椭圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 当且仅当共线时取得最小值 故答案选 ‎3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，则的周长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为椭圆的方程为，所以由椭圆的定义可得， 周长为，故选A.‎ ‎4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满足|，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 ‎【答案】D ‎5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由椭圆定义，得，所以当线段长度达最小值时， 有最大值．当垂直于轴时， ，所以的最大值为，所以，即，故选D．‎ 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点在椭圆上，则点一定满足椭圆的定义，同时点的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为把这个弦叫作椭圆的通径．‎ ‎6．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考】是双曲线左支上一点，直线是双曲线的一条渐近线， 在上的射影为是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点睛：本题主要考查双曲线的标准方程和渐近线方程．关键在于利用双曲线的定义将 的最小值转化为的最小值．作出图形，利用双曲线的对称性可知在何位置时取最小值．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.．‎ ‎7．【重庆市巴蜀中学2018届高三9月高考适应月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为 ‎，则的值为（ ）‎ A. 26 B. C. 52 D. ‎ ‎【答案】D 本题选择D选项. ‎ 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．‎ ‎(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．‎ ‎8．【北京市平谷区2016—2017高三第二学期质量监控】已知点及抛物线上一动点，则的最小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设抛物线的焦点为，连，由抛物线的定义可得。‎ ‎∵，当且仅当三点共线时等号成立，即，‎ ‎∵。‎ 因此的最小值为3。答案：C。‎ 点睛：（1）对于抛物线的有关问题，若出现了曲线上的点到焦点的连线，则应考虑抛物线的定义，将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离解决，这样会给解题带来方便。‎ ‎（2）解析几何中的最值问题，可考虑平面几何图形的特点，运用几何法求解。‎ ‎9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知拋物线的焦点，点和分别为拋物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作拋物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 得到|AB|≥（a+b）．‎ 所以≤=，即的最大值为．‎ 故选：D 点睛：本题重点考查了抛物线定义以及余弦定理，，借助重要不等式明确了|AB|与a+b的不等关系，再结合|MN|与a+b的等量关系，问题迎刃而解.‎ ‎10．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C 故选C ‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当三点共线时最小，是解题的关键．‎ ‎11．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得 又 ‎ ‎ 得到| ‎ 所以 ，即的最大值为 ‎【点评】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等.在抛物线中，利用定义和余弦定理（或正弦定理）是解决之一类问题的基本思路．‎ ‎12．【江西省抚州市南城县第二中学2016-2017学年高二下学期第一次月考】已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）‎ A. 2 B. C. ﹣1 D. +1‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 对圆锥曲线中距离和或差的最值问题，一般有两种处理方法，一种是利用圆锥曲线的定义把到准线（或与准线平行的直线）的距离转化到焦点，把到焦点的距离转化到准线，二种是利用函数思想，把最值问题转化为函数问题。一般优先考虑第一种，本题采用的是第一种。‎ ‎13．【江西赣中南五校2017-2018学年高二上学期第一次联考】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点坐标为F（1,0），准线方程是，根据抛物线定义，抛物线 上一动点到直线和直线的距离之和可以看成抛物线上一动点到焦点和直线的距离之和，其最小值为焦点F到直线的距离， 。故选A。 ‎ ‎【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。‎ ‎14．【2016-2017学年河南省新乡市高二上学期期末】抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与轴的距离是，故到轴的距离之和为.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义.对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键.如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而准线与轴的为，这样的话两个点到轴的距离就比到准线的距离少.熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法.‎ ‎15．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6， )，则|PA|＋|PM|的最小值是 ( )‎ A. 8 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎16．【四川省成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期中】已知为抛物线上一个动点， 为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的.‎ 二、填空题 ‎17．【辽宁省大连渤海高级中学2017-2018学年高二上学期期中】是椭圆的左焦点， 是椭圆上的动点， 为定点，则的最小值是_______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的a=3，b=，c=2，‎ 当P不在直线AF′上时，‎ 根据三角形的两边之差小于第三边有，‎ ‎||PA|﹣|PF′||＜|AF′|=；‎ ‎∴当P在F'A的延长线上时，|PA|﹣|PF′|取得最小值﹣，‎ ‎∴|PA|+|PF|的最小值为6﹣．‎ 故答案为：6﹣．‎ ‎18．【2017－2018学年高中数学（苏教版）课时跟踪训练(七)】已知椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】根据椭圆的定义可知： ‎ 结合基本不等式有： ‎ 当且仅当： 时， 取得最大值 故的最大值为 ‎19．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】椭圆的离心率为，则的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当焦点在轴时， ，所以，解得，当焦点在轴时， ，所以，解得，所以答案应填： ．‎ 考点：1、椭圆的离心率；2、分类讨论．‎ ‎20．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎21．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期第一次模块检测】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，则的周长的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 设椭圆的右焦点为M，椭圆的长轴为2×2a=4a，‎ ‎△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，‎ 故答案为：8a 点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.‎ ‎22．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考】已知抛物线： （）的焦点也是椭圆： （）的一个焦点，点， 分别为曲线， 上的点，则 的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ 的交点即为所求点，所以的最小值为.‎ 点睛：此题主要考查抛物线方程、定义、焦点，椭圆的方程、焦点，以及它们与直线的位置关系等有关方面的知识，属于中档题型，也是高频考点.经过审题，可由点求得椭圆方程，算出焦点的坐标，从而求出抛物线方程，并可求出其准线，由抛物线定义可求出最小值，有必要可画出草图.‎