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- 2021-06-19 发布
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第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α∓β):cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ.
(2)S(α±β):sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.
(3)T(α±β):tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α:sin2α=2sinαcosα.
(2)C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)T2α:tan2α=
.
3.公式的常用变形
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).
(2)cos2α=,
sin2α=.
(3)1±sin2α=(sinα±cosα)2,
sinα±cosα=sin.
(4)asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=
,tanφ=(a≠0).
1.概念辨析
(1)公式C(α±β),S(α±β),S2α,C2α中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( )
(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定.( )
(4)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.( )
(5)对任意角α都有1+sin=2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.小题热身
(1)若cosα=-,α是第三象限的角,则sin=( )
A.- B. C.- D.
答案 C
解析 因为cosα=-,α是第三象限的角,
所以sinα=-=-,
所以sin=sinαcos+cosαsin
=×+×=-.
(2)计算:cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=( )
A.sin(α+2β) B.sinα
C.cos(α+2β) D.cosα
答案 D
解析 cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.
(3)已知cosx=,则cos2x=( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.
(4)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y
轴对称.若tanα=,则tan(α-β)的值为( )
A.0 B. C. D.
答案 D
解析 由角α与角β的始边相同,终边关于y轴对称可知tanα=-tanβ.又tanα=,所以tanβ=-,
所以tan(α-β)===,故选D.
题型 两角和、差及倍角公式的直接应用
1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称,且角α的终边与单位圆交于点P,则sin(α-β)=________.
答案 -
解析 因为角α的终边与单位圆交于点P,
所以sinα=,cosα=.
因为角α与角β的终边关于y轴对称,
所以角β的终边与单位圆交于点Q,
所以sinβ=,cosβ=-,
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=-.
2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.
答案
解析 tan===,
解方程得tanα=.
3.已知α∈,sinα=,则cos的值为________.
答案 -
解析 因为α∈,sinα=.
所以cosα=-=-.
所以sin2α=2sinαcosα=-,
cos2α=cos2α-sin2α=,
所以cos=coscos2α+sinsin2α
=-×+×=-.
应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.
(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
1.(2018·石家庄质检)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin2α的值为( )
A.- B.- C. D.
答案 A
解析 ∵sin(π-α)=,∴sinα=,又∵≤α≤π,
∴cosα=-=-,
∴sin2α=2sinαcosα=2××=-.
2.(2018·上饶三模)由射线y=x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-x(x≤0)的位置所成的角为θ,则cosθ=( )
A.- B.± C.- D.±
答案 A
解析 设y=x(x≥0)的倾斜角为α,则sinα=,cosα=,射线y=-x(x≤0)的倾斜角为β,sinβ=,cosβ=-,∴cosθ=cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.
3.若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )
A.5 B.-1 C.6 D.
答案 A
解析 由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=,
sinαcosβ-cosαsinβ=,解得sinαcosβ=,
cosαsinβ=,∴=5.
题型 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
1.计算-sin133°cos197°-cos47°cos73°的结果为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 -sin133°cos197°-cos47°cos73°
=-sin47°(-cos17°)-cos47°sin17°
=sin(47°-17°)=sin30°=.
2.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是( )
A. B.1+
C.2 D.2(tan18°+tan27°)
答案 C
解析 (1+tan18°)(1+tan27°)
=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°
=1+tan45°(1-tan18°tan27°)+tan18°tan27°=2.
3.已知sinα+cosα=,则cos4α=________.
答案
解析 由sinα+cosα=,得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=,所以sin2α=,从而cos4α=1-2sin22α=1-2×2=.
条件探究1 将举例说明3的条件改为“sinα-cosα=”,求cos4α.
解 因为sinα-cosα=,
所以1-2sinαcosα=,
所以sin2α=2sinαcosα=-,
所以cos4α=1-2sin22α=1-2×2=-.
条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos2=,α∈(π,2π)”,求sinα+cosα.
解 因为cos2=
==.所以sin2α=>0,
又因为α∈(π,2π),所以α∈,
所以sinα+cosα<0,
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=,
所以sinα+cosα=-.
1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.
2.熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ,
cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ,
tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanαtanβ).
(2)倍角公式变形
降幂公式cos2α=,sin2α=,
配方变形:1±sinα=2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.
1.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知得,coscos-sinsin=cosx=0.∵x∈[0,π],∴x=.
2.(2019·湖南郴州质检)已知x∈(0,π),
sin=cos2,则tanx=( )
A. B.-2 C. D.
答案 D
解析 因为sin=cos2,
所以cosx-sinx=,
cosx-sinx=1-sinx,解得cosx=,
因为x∈(0,π),所以sinx==,
所以tanx===.
3.化简:·=________.
答案
解析 原式=tan(90°-2α)·=·
=·=.
题型 两角和、差及倍角公式的灵活应用
角度1 角的变换
1.(2018·南开区模拟)已知0<α<<β<π,cos=,sin(α+β)=.
(1)求sin2β的值;
(2)求cos的值.
解 (1)sin2β=cos=2cos2-1=-.
(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,
所以sin>0,cos(α+β)<0,
因为cos=,sin(α+β)=,
所以sin=,cos(α+β)=-,
所以cos=cos=cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin=×+×=.
角度2 函数名称的变换
2.求值:(1)=________;
(2)-sin10°=________.
答案 (1) (2)
解析 (1)=
===.
(2)原式=-sin10°·
=-sin10°·
=-sin10°·
=-2cos10°=
=
===.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.
(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
1.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos等于( )
A. B.- C. D.-
答案 C
解析 ∵0<α<,∴<α+<.
∵cos=,∴sin=.
∵-<β<0,∴<-<.
∵cos=,∴sin=.
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=×+×=.
2.(2018·吉林第三次调研)若sin=,则cos2=________.
答案
解析 因为sin=sin=cos=,所以cos2===.
3.(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解 (1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
因此,cos2α=2cos2α-1=-.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.
因为tanα=,所以tan2α==-,
因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
==-.
思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想
[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sinα=,那么sinsin的值为( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 ∵sin=sin=cos,
∴sinsin=sincos=sin=cos2α=(1-2sin2α)==.
[典例2] 若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=________.
答案
解析 因为tanα=,tan(α+β)=,
所以tanβ=tan[(α+β)-α]===.
方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.