数学文卷·2018届山西省太原市高三模拟考试（一）（2018 9页

太原市2018年高三模拟试题（一）‎ 数学试卷（文史类）‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 设复数满足，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C. 3 D．2‎ ‎5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．3 B．9 C. 18 D．27‎ ‎6. 函数的图像大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知不等式在平面区域上恒成立，则动点所形成平面区域的面积为（ ）‎ A． 4 B． 8 C. 16 D．32‎ ‎8.抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）‎ A． B． C. 2 D．1‎ ‎10.已知函数，若，在上有且仅有三个零点，则 （ ）‎ A． B． 2 C. D．‎ ‎11.三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（ ）‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若双曲线的离心率为2，则___________．‎ ‎14.函数在点处的切线方程是 ___________．‎ ‎15.在正方形中，分别是的中点，若，则实数___________．‎ ‎16.已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 的内角为的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，当的面积最大值．‎ ‎18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：‎ 售出水量（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．‎ ‎（1）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？‎ ‎（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．‎ 附：回归方程，其中．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，点在线段上，且为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求三棱锥的体积．‎ ‎20.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若对任意给定的，方程在上总有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 2016‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）利用正弦定理得：，‎ ‎，又，‎ 所以；‎ ‎（2）由正弦定理得：，∴，‎ ‎．‎ ‎18.解：（1）由题意可求得回归方程为，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；‎ ‎，‎ ‎，∴，‎ 当时，，即某天售出9箱水的预计收益是206元；‎ ‎（2）设事件：甲获一等奖；事件：甲获二等奖；事件：乙获一等奖，事件：乙获二等奖，‎ 事件：丙获一等奖；事件：丙获二等奖，‎ 则总事件有：，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．‎ ‎19．解：（1）∵为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵底面是菱形，，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∴，又∵，∴平面，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面，又，‎ ‎∴．‎ ‎20.解：（1）依题意，，∵点在上，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）假设存在这样的点，设，则，‎ ‎，解得，‎ ‎，∴所在直线方程为，‎ ‎∴，‎ 同理可得，，‎ ‎，‎ ‎∴或，∴存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或．‎ ‎21.解：（1），‎ ‎①当时，在单调递增，无极值；‎ ‎②当时，令，解得，故在递增，递减，，‎ 综上所述，时，无极值；，．‎ ‎（2），令单增；递减．时，．‎ 依题意，，由，得，‎ 由，即，令，可知单增，且，∴，得，综上所述，．‎ ‎22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中的几何意义．‎ 解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，‎ 的极坐标方程为两边同乘得即；‎ ‎（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）代入曲线得，由，得，‎ 设对应的参数为，由题意得即或，‎ 当时，，解得，‎ 当时，解得，‎ 综上：或．‎ ‎23．考点：绝对值不等式 解：（1）当时，，‎ ‎①时，，解得；‎ ‎②当时，，解得；‎ ‎③当时，，解得；‎ 综合①②③可知，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，即，且，，因此．‎