河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期第四次月考考试数学（文）试卷 18页

河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期第四次月考考试数学（文）试卷 第I卷（选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．独立性检验，适用于检查（ ）变量之间的关系 A．线性 B．非线性 C．解释与预报 D．分类 ‎2．‎2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：‎ 根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是( )‎ A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通 B．样本中多数女性是岁以上 C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多 D．样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高 ‎3．以下四个结论，正确的是（ ）‎ ‎①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；‎ ‎②在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量增加0.13个单位；‎ ‎③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；‎ ‎④对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与有关系”的把握程度就越大.‎ A．②④ B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎4．调查研究某项运动与性别是否有关系得到列联表如图，若这两个变量没有关系，则 ‎ 的可能值为（ ）‎ 男性 女性 合计 爱好运动 ‎100‎ a ‎100+a 不爱好运动 ‎120‎ ‎600‎ ‎720‎ 合计 ‎220‎ ‎600+a ‎820+a A．720 B．500 C．300 D．200‎ ‎5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎6．给出下列四个命题：‎ ‎①回归直线过样本点中心（，）‎ ‎②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变 ‎③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 ‎④在回归方程＝4x+4中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4个单位 其中错误命题的序号是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎7．下列关于残差图的描述错误的是（　　）‎ A．残差图的横坐标可以是编号 B．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量 C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 ‎8．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ）‎ A．-1 B．1 C．2 D．5‎ ‎9．余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）‎ A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎10．某工厂产品的组装工序图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需的时间（单位：分钟），则组装该产品所需要的最短时间为（ ）‎ A．12分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟 ‎11．若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．在一个童话故事里，狮子每逢星期一、二、三撒谎，老虎每逢星期四、五、六撒谎.某天狮子和老虎进行了一段对话.狮子说：“昨天是我的撒谎日.”老虎说：“昨天也是我的撒谎日.”根据以上对话，判断当天是星期__________.‎ ‎14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数，第 个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：‎ 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 ．‎ ‎15．双曲线经过变换后所得曲线C′的焦点坐标为________.‎ ‎16．已知，且，则的取值范围是____________.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数(是虚数单位)‎ ‎(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限,求实数的取值范围；‎ ‎(2)若虚数是实系数一元二次方程的根,求实数的值.‎ ‎18．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求，交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.‎ ‎19．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：‎ x ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ y ‎8‎ ‎6‎ ‎4.5‎ ‎3.5‎ ‎3‎ ‎（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若，则认为相关性很强；若，则认为相关性一般；若，则认为相关性较弱.请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；‎ ‎（2）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额＝月销售量×当月售价）‎ 附注：‎ 参考数据：，‎ 参考公式：相关系数，‎ 线性回归方程，，.‎ ‎20．某校高三课外兴趣小组为了了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表：‎ 打算观看 不打算观看 女生 ‎20‎ b 男生 c ‎25‎ ‎（1）求出表中数据b，c；‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；‎ ‎（3）在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎21．（1）设，，都是正数，求证：；‎ ‎（2）证明：求证.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ 试题分析：根据实际问题中情况，那么独立性检验，适用于检查分类变量之间的关系，而不是线性变量和解释与预报变量之间的关系故选D.‎ 考点：独立性检验 点评：考查了独立性检验的思想的运用，属于基础题．‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A正确；‎ 由右图知女性中岁以上的占多数，B正确；‎ 由右图知，岁以下的男性人数比岁以上的女性人数少， C错误；‎ 由右图知样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等高条形图的应用问题，也考查了对图形的认识问题，是基础题．‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性；利用回归直线方程的知识判断②的正确性；利用频率分布直方图的知识判断③的正确性；利用独立性检验的知识判断④的正确性.‎ ‎【详解】‎ ‎①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②，增加，所以②错误. ③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1，所以③正确. ④，对于两个分类变量与，求出其统计量的观测值，观测值越大，我们认为“与有关系”的把握程度就越大，所以④正确.‎ 综上所述，正确的序号为③④.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识，属于基础题.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据越小则两个变量越无关即可求解 ‎【详解】‎ 由题= 知当时 这两个变量没有关系 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的应用，属于基础题．‎ ‎5．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；‎ 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由回归直线都过样本中心，可判断①；由均值和方差的性质可判断②③；由回归直线方程的特点可判断④，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 对于①中，回归直线过样本点中心，故①正确；‎ 对于②中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，故②错误；‎ 对于③中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故③正确；‎ 对于④中，在回归直线方程，变量每增加一个单位时，平均增加4个单位，故④正确，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的特点和均值、方差的性质的应用，着重考查了．判断能力，属于基础题．‎ ‎7．C ‎【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．‎ 详解：A残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB正确；‎ 可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．‎ 则对应相关指数越大，故选项D正确，C错误.‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．‎ ‎8．A ‎【解析】‎ 分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．‎ 详解：当时，，‎ ‎∴方程在样本处的残差是 ‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查线性回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎9．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 大前提：余弦函数是偶函数，这是正确的；‎ 小前提：是余弦函数.我们把叫余弦函数，函数是余弦函数复合一个二次函数，故小前提不正确；‎ 结论：是偶函数.‎ ‎,所以结论正确，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断三段论推理中每段推理的正确性，解题的关键是对偶函数的正确理解.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的工序流程图，计算出每条组装工序从开始到结束的时间，比较即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 从需8分钟，‎ 从需10分钟，‎ 以上两条工序可同时进行最少需要10分钟，‎ 由需5分钟，故所需的最短时间为15分钟.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是工序流程图，关键是分析所给流程图，从中获得正确信息，属于基础题．‎ ‎11．B ‎【解析】‎ ‎ 不等式对任意正数 恒成立，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.当且仅当 时取等号。‎ ‎ ，故选：B.‎ 点睛：不等式恒成立问题常用的转化方法即为变量分离，本题中要求的是实数的取值范围，即将 分离出来，得到恒成立，进而利用均值不等式即可得到的最小值即可. ‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎，当且仅当与异号时等号成立．‎ ‎∵关于的不等式的解集为空集，‎ ‎∴，即，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．选D．‎ ‎13．四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 既然他们说同一天是他们撒谎日，可见必有一个撒谎，一个没有撒谎，所以需要通过假设，从而最终得出结论．‎ ‎【详解】‎ 可先假设狮子说的是实话，则当天应是星期四，再结合题意可得，这种假设成立；‎ 当假设狮子说的是谎话，则当天可能是星期二或星期三，老虎说的应该是实话，而题中老虎说：“昨天也是我的撒谎日．”所以假设不成立，所以第一种假设正确． ‎ 故答案为：四．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 原已知式子可化为：，‎ ‎，，，由此归纳推理可得，‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算变换后的曲线方程，根据方程求得焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 根据变换可得曲线 该双曲线的解得 故其焦点坐标为 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线变换后解析式的求解，属基础题.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可令，，代入，结合三角函数的性质可求．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令，，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题以不等式为载体，主要考查了不等式的性质及三角函数性质的简单应用,属于难题．‎ ‎17．（1）（2）13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，并整理出实部，虚部，由对应点在第一象限可知实部、虚部都为正即可求解（2）由题意可知的共轭复数也是方程的根，根据韦达定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（），‎ 由复数在复平面上对应点落在第一象限,‎ ‎ ，即 解得，‎ 故实数的取值范围.‎ ‎（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，‎ 所以也是方程的根，‎ 由韦达定理知，，‎ 解得，‎ 所以，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的代数形式及其几何意义，实系数一元二次方程的根，属于中档题.‎ ‎18．（1）， ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合，得到曲线的普通方程，计算交点坐标，即可。（2）结合三角形面积计算公式， 结合三角函数性质，计算最值，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)，，∴，∴.‎ 联立方程组得，解得，，‎ ‎∴所求交点的坐标为，.‎ ‎(Ⅱ)设，则.‎ ‎∴的面积 ‎∴当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数的性质，难度中等。‎ ‎19．（1）；y与x的线性相关关系很强（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求样本中心，代入相关系数的公式计算即可；‎ ‎（2）先求，最后将，全部代入求，即可求解；‎ ‎（3）由题意知，月销售量，结合二次函数性质即可求解最值；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据和附注中的参考数据得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，‎ 说明y与x的线性相关关系很强.‎ ‎（2）由（1）可知 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（3）由题意可知，月销售额的预报值（元）‎ 或者（千元）‎ 则当时，取到最大值，‎ 即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养.属于中档题 ‎20．（1）b=30，； （2）有； （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由分层抽样的概念可得抽得女生50人，男生75人，即可得解；‎ ‎（2）计算出后，比较与6.635的大小即可得解；‎ ‎（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，列出没接受采访的两人的所有情况，找到没接受采访的两人恰为一男一女的情况，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得抽得女生人，男生人，‎ 所以，. ‎ ‎（2）因为，‎ 所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关. ‎ ‎（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，‎ 由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，所有可能的结果有 ‎，共21种，‎ 其中恰为一男一女的包括，‎ ‎，共10种.‎ 因此所求概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的概念、利用独立性检验解决实际问题和古典概型概率的求解，属于中档题.‎ ‎21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用综合法，由基本不等式，即可作出证明，得到结论；‎ ‎（2）利用分析法，即可作差证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为 ‎，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）证明：要证，‎ 只需证明，‎ 即证明，‎ 也就是证明，‎ 上式显然成立，故原不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中利用基本不等式和合理使用综合法与分析法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎22．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，分类讨论去绝对值得到分段函数的解析式，并在此基础上分别求得的解集，综上并起来得答案；‎ ‎（2）分析二次函数知其在处取得最大值2，对去绝对值并整理分析知其在间取到最小值，若要满足二次函数与函数的图象恒有公共点，等价使二次函数的最大值小于等于函数的最小值，从而构建不等式，解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 由得不等式的解集为 ‎（2）由二次函数，‎ 知函数在处取得最大值2，‎ 因为，，‎ 在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的运算求解，还考查了数学的转化思想，属于较难题.‎