专题42 借用基本不等式解决最值、范围问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 12页

‎ 考纲要求:‎ ‎ 1．了解基本不等式的证明过程；‎ ‎ 2．理解基本不等式及变形应用．‎ ‎　3.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．基本不等式：≤ ‎ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎ (1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．‎ ‎ (3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．‎ ‎3、算术平均数与几何平均数 ‎　设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4、利用基本不等式求最值问题 ‎　已知x>0，y>0，则 ‎ （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)‎ ‎ （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)‎ 应用举例:‎ 类型一、利用基本不等式证明简单不等式 ‎【例1】【2017江西吉安一中高三月考】已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，‎ 求证：>8.‎ ‎【答案】见解析 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.‎ ‎【例2】【2017湖南衡阳八中月考】设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.‎ ‎【答案】见解析 点评：利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．‎ 类型二、利用基本不等式求最值 ‎【例3】若直线（） 过圆的圆心，则的最小值为（）‎ A. 16 B. 20 C. 12 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＝ (4a＋b)  ＝4＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为16.‎ ‎【例4】【河北省衡水第一中学2018届高三上学期分科综合考试】若都是正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设都是正数，且，则 ‎ ‎，当且仅当时取等号，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎【例5】设， ，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】18‎ ‎【例6】【2017江西省南昌高三一模】设a，b，c均为正数，满足a－2b＋‎3c＝0，则的最小值是________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵a－2b＋‎3c＝0，∴b＝，∴＝≥＝3，当且仅当a＝‎3c时取“＝”．‎ 类型三、基本不等式与其他内容相结合 ‎【例7】【重庆市第一中学2018届高三11月月考】若， ，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎== 当且仅当时取等号；‎ 故选C ‎【例8】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知正项等比数列（）满足，若存在两项， 使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例9】【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】若圆： （）始终平分圆： 的周长，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，‎ 由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.‎ 时取等号.‎ 的最小值为3. ‎ 本题选择A选项.‎ ‎【例10】【2017东北四市高三联考】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋‎4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．9‎ ‎【答案】D 类型四、利用基本不等式解决实际问题 ‎【例11】【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】某科研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系： .此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）.‎ ‎（1）求的函数关系式；‎ 当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．‎ ‎2、利用基本不等式求最值的方法及注意点 ‎（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．‎ ‎（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．‎ ‎3、利用基本不等式求解实际应用题的方法 ‎(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．‎ ‎(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．‎ 实战演练:‎ ‎1．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试】若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的 最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎ 2【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）‎ A. B. C. D. -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ,‎ 当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A. ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即 条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎3．【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】若实数， 满足，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 4．【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】若直线过点，则的最小值等于（ ）‎ A. 2 B. 3 C4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵直线过点， ，‎ ‎，‎ 当且仅当，即a=b=2时取等号，∴a+b的最小值为4.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．【浙江省“七彩阳光”联盟2018届高三上学期期初联考】若，则的最大值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，又由 ‎，所以，从而，当且仅当， 时取最大值．所以选A 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎6．【四川省成都市龙泉第二中学2017届高三5月高考模拟考试（一）】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7．【四川省绵阳中学实验学校2017届高三5月模拟】已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正项等比数列{an}的公比为q，且q>0，‎ 由a7=a6+2a5得： ，‎ ‎ 8．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.‎ ‎（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？‎ ‎（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，而篱笆总长为，利用均值不等式的结论可得菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.‎ ‎(2)由已知得，利用均值不等式可得，则的最小值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得，而篱笆总长为；‎ 又因为，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.‎ ‎（2）由已知得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.‎ ‎9．（1）设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点 共线，求＋的最小值。‎ ‎（2）求函数y＝(x>1)的最小值。‎ ‎【答案】（1）9；（2）2＋2.‎ ‎ 10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．‎ ‎【答案】（1）64；（2）18.‎ ‎ ‎ ‎ ‎