2021版高考数学一轮复习核心素养测评四函数的单调性与最值新人教B版 0 7页

核心素养测评四 函数的单调性与最值 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(多选)下列函数中,定义域是R且为增函数的是 (　　)‎ A.y=e-x B.y=x3‎ C.y=ln x D.y=x ‎【解析】选B、D.对于选项A,y=ex为增函数,y=-x为减函数,故y=e-x为减函数,对于选项B,y′=3x2≥0,故y=x3为增函数,定义域为R.对于选项C,函数的定义域为x>0,不为R,对于选项D,函数y=x定义域为R,且在R上单调递增.‎ ‎2.(2020·武汉模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 (　　)‎ A.[1,2] B.[-1,0]‎ C.[0,2] D.[2,+∞)‎ ‎【解析】选A.f(x)=|x-2|x ‎=其图象如图,‎ 由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].‎ ‎3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是 (　　)‎ A.(-∞,1]　　 B.(-∞,-1]‎ C.[-1,+∞)　　　 D.[1,+∞)‎ ‎【解析】选A.因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1.‎ ‎4.函数y=的单调增区间是 (　　)‎ A.(-∞,-3) B.[2,+∞)‎ C.[0,2) D.[-3,2]‎ ‎【解析】选B.因为x2+x-6≥0,所以x≥2或x≤-3,y=x2+x-6在(-∞,-3)上单调递减,在 7‎ ‎[2,+∞)上单调递增,所以y=在[2,+∞)上单调递增.‎ ‎【变式备选】‎ ‎(2020·济宁模拟)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为 (　　)‎ A.(0,+∞) B.(-∞,0)‎ C.(2,+∞) D.(-∞,-2)‎ ‎【解析】选C.由复合函数的单调性,要使f(x)单调递增,需解得x>2.‎ ‎5.已知函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a+b>0,则有 (　　)‎ A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)‎ B.f(a)+f(b)f(-a)-f(-b)‎ D.f(a)-f(b)0,所以a>-b,b>-a.‎ 所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),结合选项,可知选A.‎ ‎6.(2019·潍坊模拟)对于每一个实数x,f(x)是y=2-x2和y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值是 (　　)‎ A.2　 B.1　　　 C.0　　 D.-2‎ ‎【解析】选B.画出函数f(x)的图象,如图所示:‎ 其中A(1,1),B(-2,-2),故当x=1时,函数f(x)的最大值为1.‎ ‎【一题多解】选B.‎ f(x)=‎ 当x<-2时,函数f(x)的值域为(-∞,-2);当-2≤x≤1时,函数f(x)的值域为[-2,1];‎ 当x>1时,函数f(x)的值域为(-∞,1).故函数f(x)的值域为(-∞,1],所以f(x)max=1.‎ ‎【变式备选】‎ 7‎ 已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x),定义如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|0时,函数的图象向右上方无限延展,所以F(x)无最大值.‎ ‎7.已知函数f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是 (　　)‎ A.(1,+∞) B.[4,8)‎ C.(4,8) D.(1,8)‎ ‎【解析】选B.由f(x)在R上单调递增,‎ 则有解得4≤a<8.‎ ‎【变式备选】‎ 7‎ 已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1) B.‎ C.　 D.‎ ‎【解析】选C.因为f(x)在R上单调递减,‎ 所以解得≤a<.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2020·北京模拟)函数y=的最大值是______. ‎ ‎【解析】函数y=>0,函数值取得最大值时,即当分母最小即可取得最大值,分母最小时x=0,|x|+2=2,此时函数最大值为:.‎ 答案:‎ ‎9.函数f(x)=-+b(a>0)在上的值域为,则a=________,b=________. ‎ ‎【解析】因为f(x)=-+b(a>0)在上是增函数,所以f=,f(2)=2.‎ 7‎ 即 解得a=1,b=.‎ 答案:1　‎ ‎10.若函数f(x)=x2+a|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围 是________.  ‎ ‎【解析】f(x)=x2+a|x-1|=‎ 要使f(x)在[0,+∞)上单调递增,则得-2≤a≤0,所以实数a的取值范围是[-2,0].‎ 答案:[-2,0]‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)(2020·黄冈模拟)设函数f(x)=‎ 则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　　)‎ A.[-1,2] B.[0,2]‎ C.[1,+∞) D.[0,+∞)‎ ‎【解析】选D.当x≤1时,21-x≤2可变形为1-x≤1,x≥0,所以0≤x≤1.当x>1时,1-log2x≤2可变形为x≥,所以x>1,故x的取值范围为[0,+∞).‎ ‎2.(5分)(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f(2)= (　　)‎ A.2 B.4 C.6　 D.8‎ 7‎ ‎【解析】选C.设t=f(x)-2x,则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,因为f(x)是单调函数,f(2)=22+2=6,所以t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=4+2=6.‎ ‎3.(5分)(2020·连云港模拟)函数y=3x+的值域是________. ‎ ‎【解析】函数y=3x+,设=t,则t≥0,那么x=t2+1.‎ 可得函数y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其对称轴t=-,开口向上,所以函数y在[0,+∞)上单调递增,‎ 所以当t=0时,y取得最小值为3.‎ 所以函数y=3x+的值域是[3,+∞).‎ 答案:[3,+∞)‎ ‎【变式备选】‎ 函数y=-x(x≥0)的最大值为________. ‎ ‎【解析】令t=,则t≥0,‎ 所以y=t-t2=-+,‎ 所以当t=,即x=时,ymax=.‎ 答案:‎ ‎4.(10分)已知函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值. ‎ ‎【解析】f(x)=x+,当a>1时,a->0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,‎ 所以g(a)=f(0)=;‎ 7‎ 当00时,恒有f(x)>1. ‎ ‎(1)求证:f(x)在R上是增函数.‎ ‎(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.‎ ‎【解析】(1)设x10.‎ 因为当x>0时,f(x)>1,‎ 所以f(x2-x1)>1,‎ f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,‎ 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)