江苏省启东中学2017高考数学押题卷8 14页

卷8‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.是虚数单位，复数的虚部是 ； ‎ ‎2．抛物线的焦点到准线的距离是 ； ‎ ‎3. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，‎ 则= ； ‎ ‎4．已知集合，集合，若命题“”是命 题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ； ‎ ‎5．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 ‎ 相关人员数 抽取人数 公务员 ‎32‎ x 教师 ‎48‎ y 自由职业者 ‎64‎ ‎4‎ ‎6．已知函数，则不等式的解集是 ；‎ ‎7.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的等于 ；‎ ‎8．函数（其中，）的图象如图所示，若点A是函数的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数的图象的最高点和最低点，点C是点B在x轴上的射影，则= ；‎ ‎9．如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积为_________；‎ ‎10．如图，是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（，则整数____________；‎ ‎ ‎ ‎11.设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，‎ 若，‎ 则中数字0的个数为 　　　．‎ ‎12.设是实数．若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的递增区间为 ．‎ ‎13.已知椭圆的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为 ．‎ ‎14．函数满足，且均大于，， 则 的最小值为 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝AC＝2AA1，‎ ÐBAA1＝ÐCAA1＝60°，D，E分别为AB，A‎1C中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面BB‎1C‎1C；‎ ‎（2）求证：BB1^平面A1BC．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知=(1+cos,sin),=(),,,向量与夹角为，向量与夹角为，且-=，若中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=.‎ 求（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若的外接圆半径为，试求b+c取值范围．‎ ‎17.如图，海岸线，现用长为的栏网围成一养殖场，其中.‎ ‎(1)若，求养殖场面积最大值；‎ ‎（2）若、为定点，，在折线内选点，使，求四边形养殖场的最大面积;‎ ‎(3)若（2）中、可选择，求四边形养殖场面积的最大值.‎ ‎18.（本题满分16分）‎ 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；‎ ‎（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.‎ ‎19. 设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；‎ ‎（Ⅲ）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.‎ ‎20. 已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.‎ (1) 求函数的表达式；‎ (2) 求函数的单调区间；‎ ‎（3）研究函数在区间上的零点个数。‎ 附加题 ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4－1　几何证明选讲 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相 交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于 点F．求证：△PDF∽△POC．‎ B．选修4－2　矩阵与变换 已知矩阵．‎ ‎ （1）求逆矩阵；‎ ‎ （2）若矩阵X满足，试求矩阵X．‎ C．选修4－4　坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB． ‎ D．选修4－5　不等式选讲 已知x，y，z均为正数．求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．已知（其中）‎ ‎（1）求及；‎ ‎(2) 试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎23．设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．‎ ‎ （1）求抛物线的方程；‎ ‎ （2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；‎ ‎ （3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．‎ 参考答案 一、填空题：‎ ‎1． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 63 8. ‎ ‎9. 10. 1 11. 11 12. 13. 14. ‎ 二、解答题：‎ ‎16. (Ⅰ）据题设，并注意到的范围，-----------------------2分 ‎，--------------------4分 由于为向量夹角，故，‎ 而故有， 得.--7分 ‎（Ⅱ）（2）由正弦定理，-------10分 得--------12分 注意到，从而得------------------------14分 ‎17. 解：(1)设，‎ ‎，，‎ 所以，△ 面积的最大值为，当且仅当时取到．‎ ‎(2)设为定值)． (定值) ，‎ 由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值．‎ 只需面积最大,需此时点到的距离最大, ‎ 即必为椭圆短轴顶点． ‎ 面积的最大值为，‎ 因此,四边形ACDB面积的最大值为．‎ ‎(3)先确定点B、C，使. 由(2)知为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.‎ 确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，‎ 由(1)知AB=AC时，四边形ACDB面积最大.‎ 此时，△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=.‎ S=.‎ 由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为.‎ 所以，四边形ACDB面积最大值为.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由题意得：，半焦距 ‎ 则椭圆C方程为 ‎ ‎“伴随圆”方程为 ……………4分 ‎（Ⅱ）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：， ‎ 则整理得 所以，解① ……………6分 又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，‎ 则有化简得 ② ……8分 联立①②解得，，‎ 所以，，则 …………10分 ‎（Ⅲ）当都有斜率时，设点其中，‎ 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，‎ 由，消去得到 …………12分 即， ， ‎ 经过化简得到：， ……14分 因为，所以有，‎ 设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，‎ 所以满足方程，‎ 因而，即直线的斜率之积是为定值 ……16分 ‎19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数，总成立,‎ 令，得,则…………………………………………(1分)‎ 令，得 (1) , 从而 (2),‎ ‎(2)－(1)得：,……(3分)‎ 综上得,所以数列是等比数列…………………………(4分)‎ ‎（Ⅱ）正整数成等差数列，则,所以,‎ 则…………………………………………(7分)‎ ‎①当时，………………………………………………(8分)‎ ‎②当时，……(9分)‎ ‎③当时，………(10分)‎ ‎（Ⅲ）正整数成等比数列，则,则,‎ 所以 分 ① 当,即时，‎ ‎………………………………………(14分)‎ ‎②当,即时，…………………(15分)‎ ‎③当,即时，…………………(16分)‎ ‎20. (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)‎ ‎(1) 解：∵，∴. … 1分 ‎ ‎ ∵对于任意R都有,‎ ‎ ∴函数的对称轴为，即，得. … 2分 ‎ 又，即对于任意R都成立，‎ ‎ ∴,且．‎ ‎　　　　∵， ∴．‎ ‎　　　　∴． … 4分 ‎ (2) 解： … 5分 ‎① 当时，函数的对称轴为，‎ 若，即，函数在上单调递增； … 6分 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎ …7分 ‎② 当时，函数的对称轴为，‎ ‎　则函数在上单调递增，在上单调递减． … 8分 综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； … 9分 当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和． … 10分 ‎ (3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，‎ ‎　　　　　又，‎ ‎　　　　　故函数在区间上只有一个零点． … 12分 ‎　　　　② 当时，则，而，‎ ‎　　　　，‎ ‎ （ⅰ）若，由于，‎ ‎ 且，‎ ‎ 此时，函数在区间上只有一个零点； … 14分 ‎　　　　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点． 15分 ‎　　 　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；‎ ‎　　　　当时，函数在区间上有两个不同的零点． …… 16分 附加题 B．（1）设=，则==．‎ ‎∴解得∴=．--------6分 ‎（2）．---------------10分 C．解：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线 4分 设，，将这两个方程联立，消去，‎ 得，． --------------6分 ‎-------8分 ‎∴，． -----------------------10分 D．选修4－5　不等式选讲 证明：因为x，y，z都是为正数，所以．-------------4分 同理可得，‎ 当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． -------------------7分 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． ---------- 10‎ 分 ‎22．（1）令，则，令，‎ 则，∴； ----------------------3分 ‎（2）要比较与的大小，即比较：与的大小，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，； -----------------------------------5分 猜想：当时时，，下面用数学归纳法证明：‎ 由上述过程可知，时结论成立，‎ 假设当时结论成立，即，‎ 两边同乘以3 得：‎ 而∴‎ 即时结论也成立，‎ ‎∴当时，成立.‎ 综上得，当时，；‎ 当时，；当时， --10分 ‎（23）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），‎ 因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．‎ ‎ （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，‎ 同理，．‎ ‎ ∵kPA+kPB=0，‎ ‎∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8‎ ‎∴．‎ ‎ 即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．‎ ‎ （3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．‎ ‎ 直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x．‎ ‎ 将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得 ‎ (y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．‎