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  • 2021-06-19 发布

2020版高考数学大一轮复习(讲义·理·新人教A版)第十章 计数原理概率随机变量及其分布 第4节 随机事件与概率

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第4节 随机事件与概率 考试要求 1.理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系;2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算;3.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则;4.会用频率估计概率.‎ 知 识 梳 理 ‎1.样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为样本点,记作ω;随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间,记作Ω.‎ ‎2.概率与频率 ‎(1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.‎ ‎(2)概率:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎3.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A+B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥 A∩B=∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅‎ P(A∪B)=1‎ ‎4.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)=1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)=0.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式 ‎①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.任一随机事件A都是样本空间Ω的一个子集,称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.‎ ‎2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 ‎(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.‎ ‎(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.‎ ‎3.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时, 要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的.(  )‎ ‎(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.(  )‎ ‎(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.(  )‎ ‎(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(  )‎ 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:‎ 分组 ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10,40)的频率为(  )‎ A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65‎ 解析 由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,‎ 所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.‎ 答案 B ‎3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(  )‎ A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.‎ 答案 C ‎4.(2019·北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是(  )‎ A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.‎ 答案 B ‎5.(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )‎ A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7‎ 解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,它们彼此是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.‎ 答案 B ‎6.(2019·潍坊调研)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是________.‎ 解析 乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,且它们是互斥事件,所以乙不输的概率为+=.‎ 答案  考点一 样本点与样本空间 ‎【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次,请回答以下问题:‎ ‎(1)写出样本点和样本空间;‎ ‎(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”,试用样本点表示事件A;‎ ‎(3)用Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出1点,第二次掷出j点”;用B表示随机事件“第一次掷出1点”,试用随机事件Aj表示随机事件B.‎ 解 (1)首先确定样本点,用1,2,3,4,5,6表示掷出的点数,用(i,j)表示“第一次掷出i点,第二次掷出j点”,则相继投掷两次的所有可能结果如下:‎ ‎(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)‎ ‎(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)‎ ‎(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)‎ ‎(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)‎ ‎(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)‎ ‎(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)‎ 注意到(1,2)和(2,1)是不同的样本点,分别表示“第一次掷出1点,第二次掷出2点”和“第一次掷出2点,第二次掷出1点”这两个随机事件,因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件.样本空间为 Ω= ‎={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.‎ ‎(2)因为随机事件A=“至少有一次掷出1点”,则A包括上述样本空间中所有出现1的样本点,因此 A=.‎ ‎(3)Aj={(1,j)},j=1,2,3,4,5,6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生,所以B=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.‎ 规律方法 1.在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明:‎ ‎(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数;‎ ‎(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的,也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间;‎ ‎(3)建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间Ω={H,T},它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.‎ ‎【训练1】 写出下列随机试验的样本空间Ω.‎ ‎(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和Ω=________.‎ ‎(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数,Ω=________.‎ 答案 (1){3,4,5,…,18} (2){10,11,12,…}‎ 考点二 随机事件的关系 ‎【例2】 (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(  )‎ A.是对立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件 ‎(2)设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.‎ ‎(2)若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;投掷一枚硬币3次,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件,如:事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“出现3次正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.‎ 答案 (1)C (2)A 规律方法 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:‎ ‎(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.‎ ‎2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.‎ ‎【训练2】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是(  )‎ A.① B.②④ C.③ D.①③‎ 解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,两个奇数,两个偶数.‎ 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数构成对立事件.‎ 又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件.‎ 答案 C 考点三 随机事件的频率与概率 ‎【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40]‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.‎ 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于25的频率为=0.6.‎ 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,‎ 若最高气温低于20,则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100;‎ 若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300;‎ 若最高气温不低于25,则Y=450×(6-4)=900,‎ 所以,利润Y的所有可能值为-100,300,900.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8.‎ 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ 规律方法 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.‎ ‎2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.‎ 提醒 概率的定义是求一个事件概率的基本方法.‎ ‎【训练3】 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:‎ 所用时间(分钟)‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ 选择L1的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择L2的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;‎ ‎(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;‎ ‎(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.‎ 解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),‎ ‎∴用频率估计相应的概率为p==0.44.‎ ‎(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,‎ 故由调查结果得频率为 所用时间(分钟)‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,‎ P(A2)=0.1+0.4=0.5,‎ ‎∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.‎ 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,‎ P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,‎ ‎∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.‎ 考点四 互斥事件与对立事件的概率 ‎【例4】 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求:(1)至多2人排队等候的概率;‎ ‎(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.‎ 解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,‎ 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)法一 记“至少3人排队等候”为事件H,‎ 则H=D∪E∪F,‎ 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 法二 记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.‎ 规律方法 1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.‎ ‎2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.‎ ‎【训练4】 (一题多解)一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:‎ ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率;‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.‎ 解 法一 (利用互斥事件求概率)‎ 记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},‎ A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},‎ 则P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,‎ P(A4)=,‎ 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,‎ 由互斥事件的概率公式,得 ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)‎ ‎=++=.‎ 法二 (利用对立事件求概率)‎ ‎(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)‎ ‎=1--=.‎ ‎(2)因为A1+A2+A3的对立事件为A4,‎ 所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.‎ ‎2.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎3.对立事件不仅两个事件不能同时发生,而且二者必有一个发生.‎ ‎4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:‎ ‎(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算.‎ ‎(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反).‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.‎ ‎2.正确认识互斥事件与对立事件的关系,对立事件是互斥事件,是互斥事件中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.‎ ‎3.需准确理解题意,特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列说法正确的是(  )‎ A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%‎ 解析 由概率的意义知D正确.‎ 答案 D ‎2.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(  )‎ A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 解析 由于每人一个方向,事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生,但能同时不发生,故是互斥事件,但不是对立事件.‎ 答案 A ‎3.设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为(  )‎ A.两个任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.对立事件 解析 因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.‎ 答案 B ‎4.(2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为(  )‎ A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08‎ 解析 记“抽检的产品是甲级品”为事件A,是“乙级品”为事件B,是“丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.‎ 答案 C ‎5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.‎ 由于P(A)=,P(B)=.‎ 所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守候,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,原因是____________________.‎ 答案 兔子碰死在木桩上是随机事件,可能不发生 ‎7.(2019·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________.‎ 解析 ∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,‎ ‎∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 p=1-P(A)=1-0.65=0.35.‎ 答案 0.35‎ ‎8.(2019·北京东城区调研)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是________.‎ 解析 由表格知,至少有2人排队的概率p=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.‎ 答案 0.74‎ 三、解答题 ‎9.黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表:‎ 血型 A B AB O 该血型的人数所占的比例 ‎28%‎ ‎29%‎ ‎8%‎ ‎35%‎ 已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问:‎ ‎(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?‎ ‎(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?‎ 解 (1)任找一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.‎ 因为B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个人,其血可以输给小明”为事件B′∪D′,根据概率加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.‎ ‎(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.‎ ‎10.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;‎ ‎(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值.‎ 解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,‎ 故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.‎ 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A∪发生的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果.‎ 依题意P(A)==,P(B)==,‎ ‎∴P()=1-P(B)=1-=.‎ ‎∵表示“出现5点或6点”的事件,‎ 因此事件A与互斥,‎ 从而P(A∪)=P(A)+P()=+=.‎ 答案 C ‎12.甲、乙两人在5次综合测评中的成绩如下:甲:88,89,90,91,92,乙:83,83,87,9,99,其中乙的一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析 设被污损的数字为x,则 甲=(88+89+90+91+92)=90,‎ 乙=(83+83+87+99+90+x),‎ 若甲=乙,则x=8.‎ 若甲>乙,则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7,‎ 故p==.‎ 答案 C ‎13.某城市2018年的空气质量状况如表所示:‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率p 其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良,100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________.‎ 解析 由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为p=++=.‎ 答案  ‎14.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎4‎ ‎(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.‎ 解 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 所种作物的平均年收获量为 ==46.‎ ‎(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.‎ 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为 P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.‎

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