数学理卷·2018届江西省九江一中高二下学期期末考试（2017-07） 9页

九江一中2016—2017学年下学期期末试卷 高二数学（理）‎ 命题：高二数学（理）备课组 审题：高二数学（理）备课组 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ） ‎ A. 　　 B. C. D. ‎ ‎2．命题“对任意的”的否定是 （ ） ‎ A.不存在 B.存在 C.存在 D.对任意的 ‎ ‎3．已知命题 “为假”是“为真”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 已知复数，则下列命题中正确的个数为（ ）‎ ‎ ① ；② ；③ 的虚部为 ；④ 在复平面上对应点在第一象限.‎ A. 1 B. ‎2 ‎‎ ‎‎ ‎C. 3 D. 4 ‎ ‎5．设服从二项分布B～ξ（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2. 4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为（ ）‎ A．n=4，p=0.6 B．n=6，p=‎0.4 ‎ C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1‎ 俯视图 侧视图 正视图 ‎6. 堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈 十尺）. 答案是（ ）‎ A.　25500立方尺 B. 34300立方尺 C. 46500立方尺 D. 48100立方尺 ‎7．执行图示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A.7 B‎.9 ‎‎ C.10 D.11‎ ‎8．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）种 ‎ A.10 B‎.8 ‎‎ C.9 D.12‎ ‎9. 关于函数，下列叙述有误的是（ ）‎ A.其图象关于直线对称 ‎ B.其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到 C.其图象关于点对称 D. 其值域是 ‎10.已知，则的最大值为（ ）‎ A．18 B. ‎9 ‎‎ C. D.‎ ‎11. 设等差数列满足 ‎，数列的前项和记为，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎12. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，‎ 则不等式的解集为（ ）‎ A. 　 B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为 －405 ‎ ‎14. 若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为___1 ___．‎ ‎15. 设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切实数均成立.如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数的取值范围是 .‎ ‎16.定义：对于集合A=， “”称为集合A的“元素积”‎ ‎；“”称为集合A的“元素和”。特别地，A=的元素积为 ‎；A=的元素和为。若A={1，-1，3，4}，记集合A的所有非空子集的元素积的和为M，集合A的所有非空子集的元素和的和为N。则M+N= 91 ,. .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求列的前项和.‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）依题意得 ‎ ‎ 解得， ‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）， ‎ ‎ ∴ ‎ ‎18. ．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：‎ 赞同 反对 合计 男 ‎5‎ ‎6‎ ‎11‎ 女 ‎11‎ ‎3‎ ‎14‎ 合计 ‎16‎ ‎9‎ ‎25‎ ‎（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？‎ ‎（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；‎ ‎（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．‎ 附表：‎ P（K2≥K）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎．‎ ‎【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，‎ 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…‎ ‎（2）（ⅰ）记题设事件为A，则 所求概率为P（A）==． …‎ ‎（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…‎ X的期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1．‎ ‎19.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；‎ ‎（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；‎ ‎（2）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ 证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），‎ A1‎ C1‎ B1‎ M B A P x y z B1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）‎ ‎，，‎ ‎∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。‎ ‎∴sinθ=|cos<|=‎ ‎∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ‎ ‎（2）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量。‎ 则得令x=3，得y=1+2,z=2-2‎ ‎∴‎ ‎∴|cos<>|=化简得4‎ ‎∵△＝100-4413＝-108<0‎ ‎∴方程（*）无解 ‎∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º ‎20.已知抛物线：与直线相切.‎ ‎ (1)求该抛物线的方程;‎ ‎(2)在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以. （4分）‎ ‎(2) 假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，‎ ‎，‎ 当时，为定值，所以. （12分）‎ ‎21.（本小题14分）‎ 已知函数．‎ ‎ (1)讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎(2)若函数在处取得极值，对,恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎(3)当且时，试比较的大小．‎ ‎21解：(1)，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时，得，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点． 5分 ‎(2)∵函数在处取得极值，∴，‎ ‎∴， 7分 令，可得在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即． 9分 ‎(3)解：令， 10分 由(2)可知在上单调递减，则在上单调递减 ‎∴当时，>，即． 12分 当时，∴，‎ 当时，∴ 14分 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎ ‎ ‎22. 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程是： .‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线曲线，求曲线上的点到直线距离的最小值.‎ ‎【答案】(1)曲线的方程为，直线的方程是： …4分 ‎（2）将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线曲线的方程为，设曲线上的任意点 到直线距离.‎ 到直线距离的最小值为。 …………………10分 ‎23. ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当a=3时，求函数的最大值；‎ ‎（2）解关于x的不等式.‎ ‎【答案】（1）当a=3时，‎ ‎ …………３分 所以，当x=1时，函数f(x)取得最大值2. …………５分 ‎（2）由得，‎ 两边平方得：，‎ 即， …………７分 得，‎ 所以，①当时，不等式的解集为；‎ ‎②当时，不等式的解集为；‎ ① 时，不等式的解集为.………10分