2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章　3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例 24页

第3讲　平面向量的数量积及应用举例 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°‎ 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直　‎ ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积 ‎3．向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ ‎(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)‎ A．12　　　B．6　　　C．3　　　D．3‎ 解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.‎ ‎2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．‎ 解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，‎ 所以10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ 答案：12‎ ‎3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ 解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)没有找准向量的夹角致误；‎ ‎(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；‎ ‎(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．‎ ‎1．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．‎ 解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在 方向上的投影为________．‎ 解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的投影为＝＝.‎ 答案： ‎3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．‎ 解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ 答案： ‎　　　　　　平面向量数量积的运算 ‎ (1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I1＜I2＜I3　　　　　　　　 ‎ B．I1＜I3＜I2‎ C．I3 ＜ I1＜I2 ‎ D．I2＜I1＜I3‎ ‎(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ ‎【解析】　(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB·，即I1>I3.所以I30)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.‎ 法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.‎ 设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.‎ ‎【答案】　A 角度三　两向量垂直问题 ‎ 已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.求k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?‎ ‎【解】　由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ 因为(a＋2b)⊥(ka－b)，‎ 所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0.‎ 所以k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ 角度四　求参数值或范围 ‎ 已知△ABC是正三角形，若－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．‎ ‎【解析】　因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．‎ ‎【答案】　(2，＋∞)‎ ‎ ‎(1)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；‎ ‎②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；‎ ‎(2)求向量的模的方法 ‎①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．‎ ‎②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．　 ‎ ‎1．(2020·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．‎ 解析：设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a，‎ 所以b2＋c2＋2b·c＝1.‎ 即cos θ＝＝1＋.‎ 因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1.‎ 所以≤k≤.‎ 所以－1≤cos θ≤－.‎ 答案： ‎2．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝λ＋，＝－，‎ 所以(λ＋)·(－)＝0，‎ 即(λ－1)·－λ2＋2＝0，‎ 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.‎ 所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.‎ 答案： ‎　　　　　　向量数量积的综合应用 ‎ (2020·金华十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝‎ ‎(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ ‎【解】　(1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.‎ 因为0b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ 平面向量与三角函数的综合问题 ‎(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．　 ‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，则∠A＝________．‎ 解析：因为2m·n＝2sin cos －2cos2 ＝sin A－(cos A＋1)＝sin －1，‎ 又|m|＝1，‎ 所以2m·n＋|m|＝sin＝，‎ 即sin＝.‎ 因为00，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．‎ ‎【解析】　(1)由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，‎ 则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3 ‎＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，‎ 当且仅当x＝2时，·取得最大值6.‎ ‎(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.‎ 根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，‎ 联立得消去x得，yB＝.‎ 由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，‎ 所以离心率e＝.‎ ‎【答案】　(1)6　(2) 向量在解析几何中的2个作用 载体 作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 工具 作用 利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　 B．2‎ C．0 D．2或－2‎ 解析：选B.n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.‎ ‎2．(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则|－＋|等于(　　)‎ A．0 B. C．2 D．2 解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则|－＋|2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋12＋12＝4，所以|－＋|＝2，故选C.‎ ‎3．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.(　　)‎ A．若a·b<0则x>0，y>0‎ B．若a·b<0则x<0，y<0‎ C．若a·b>0则x<0，y<0‎ D．若a·b>0则x>0，y>0‎ 解析：选A.由a·c>0，b·c>0，若a·b<0，‎ 可举a＝(1，1)，b＝(－2，1)，c＝(0，1)，‎ 则a·c＝1>0，b·c＝1>0，a·b＝－1<0，‎ 由c＝xa＋yb，即有0＝x－2y，1＝x＋y，‎ 解得x＝，y＝，则可排除B；‎ 若a·b>0，可举a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(1，1)，‎ 则a·c＝1>0，b·c＝3>0，a·b＝2>0，‎ 由c＝xa＋yb，即有1＝x＋2y，1＝y，解得x＝－1，y＝1，‎ 则可排除C，D.故选A.‎ ‎4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，‎ 所以2·＝0，所以⊥.‎ 所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.‎ ‎5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.以A为坐标原点，，方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1，2)，所以·＝3λ－4≤2.‎ 所以·的最大值为2.故选B.‎ ‎6．(2020·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，‎ 不妨设|a＋b|＝1，则|a|＝|b|＝λ.‎ 令＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，‎ 则平行四边形OACB为菱形．‎ 故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，‎ 且0<θ<.‎ 而由题意可得，b与a－b的夹角，‎ 即与的夹角，等于π－θ，‎ ‎△OAC中，由余弦定理可得|OC|2＝1＝|OA|2＋|AC|2－2|OA|·|AC|·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，‎ 解得cos 2θ＝1－.‎ 再由≤λ≤1，可得≤≤，所以－≤cos 2θ≤，所以≤2θ≤，所以≤θ≤，‎ 故≤π－θ≤，即b与a－b的夹角π－θ的取值范围是.‎ ‎7．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么|a－2b|＝________．‎ 解析：因为平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，所以a·b＝4·4·cos 120°＝－8，‎ 所以|a－2b|＝＝＝＝＝4.‎ 答案：4 ‎8．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．‎ 解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2，‎ 所以＝＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝，则θ＝.‎ a·b＝(2e1＋e2)·e2‎ ‎＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2.‎ 答案：2　 ‎9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为边CD上一个动点，＝λ，点P为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则·的取值范围为________．‎ 解析：当λ＝1时，Q为CD的中点．‎ 设＝m，＝n，＝μ(0≤μ≤1)．‎ 易知＝－m＋n，＝＋＝m＋μ＝m＋μn，‎ ＝－＝m＋μn－n＝m＋(μ－1)n，‎ 所以·＝·＝·＝4＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.‎ 根据二次函数性质可知，当μ＝时上式取得最小值；当μ＝0时上式取得最大值4.所以·的取值范围为.‎ 答案： ‎10．(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足＝(1，)，＝(－，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；· 的取值范围是________．‎ 解析：由＝(1，)，＝(－，1)得⊥，且||＝2，||＝2，所以凸四边形ABCD的面积为×2×2＝2；因为ABCD为凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点，记为M，则·＝(－)·(－)＝·＋·－·－·，‎ 设＝λ，＝μ，则λ，μ∈(0，1)，且＝－λ，＝(1－λ)，‎ ＝－μ，＝(1－μ)，所以·＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝时，·取到最小值－2.‎ 答案：2　[－2，0)‎ ‎11．已知m＝，n＝(cos x，1)．‎ ‎(1)若m∥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，‎ 展开变形可得，sin x＝cos x，‎ 即tan x＝.‎ ‎(2)f(x)＝m·n＝sin＋，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，‎ f(x)的单调递增区间为和.‎ ‎12．(2020·金华市东阳二中高三月考)设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2－2b＋c2＝0，求·的取值范围．‎ 解：因为O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，‎ 如图所示，延长AO交外接圆于点D.‎ 因为AD是⊙O的直径，所以∠ACD＝∠ABD＝90°.‎ 所以cos∠CAD＝，cos∠BAD＝.‎ 所以·＝·(－)‎ ‎＝·－· ‎＝||||·cos∠CAD－||||·cos∠BAD＝||2－||2‎ ‎＝b2－c2‎ ‎＝b2－(2b－b2)(因为c2＝2b－b2)‎ ‎＝b2－b＝－.‎ 因为c2＝2b－b2>0，解得0