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- 2021-06-19 发布
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微专题 70 求点的轨迹问题
一、基础知识:
1、求点轨迹方程的步骤:
(1)建立直角坐标系
(2)设点:将所求点坐标设为 ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:从已知条件中发掘 的关系,列出方程
(4)化简:将方程进行变形化简,并求出 的范围
2、求点轨迹方程的方法
(1)直接法:从条件中直接寻找到 的关系,列出方程后化简即可
(2)代入法:所求点 与某已知曲线 上一点 存在某种关系,
则可根据条件用 表示出 ,然后代入到 所在曲线方程中,即可得到关于 的方程
(3)定义法:从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确
定相关曲线的要素,求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有:
① 圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆:若 ,则 点在以 为直径的圆上
确定方程的要素:圆心坐标 ,半径
② 椭圆:平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹
确定方程的要素:距离和 ,定点距离
③ 双曲线:平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹
注:若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支
确定方程的要素:距离差的绝对值 ,定点距离
④ 抛物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹
确定方程的要素:焦准距: 。若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线
方程或焦点坐标也可确定方程
(4)参数法:从条件中无法直接找到 的联系,但可通过一辅助变量 ,分别找到 与
,x y
,x y
,x y
,x y
,P x y 0 0, 0F x y 0 0,Q x y
,x y 0 0,x y Q ,x y
AB AC A BC
,a b r
2a 2c
2a 2c
p
,x y k ,x y k
的联系,从而得到 和 的方程: ,即曲线的参数方程,消去参数 后即可得
到轨迹方程。
二、典型例题:
例 1:设一动点 到直线 的距离到它到点 的距离之比为 ,则动点 的轨
迹方程是( )
A. B.
C. D.
思路:设 ,则可直接利用已知条件列出关于 的等式,化简即可
解:设
答案:C
例 2:已知两定点的坐标分别为 ,动点满足条件 ,则动
点 的轨迹方程为___________
思路:通过作图可得 等价的条件为直线 的斜率的关系,设
,则 ,则可通过 的斜率关系得到动点 的方程
解:若 在 轴上方,则
代入可得:
,x y k
x f k
y g k
k
P : 3l x 1,0A 3
3 P
2 2
13 2
x y
2 2
13 2
x y
2 24 13 6
x y
2 2
12 3
x y
,P x y ,x y
,P x y
2 2
3 3
31
P l xd
PA x y
2 23 3 3 1x x y
2 2 23 3 1x x y
2 22 16 26x x y
2 2
2 2 42 4 6 13 6
x yx y
1,0 , 2,0A B 2MBA MAB
M
2MBA MAB ,MA MB
MAB 2MBA ,MA MB M
M x tan , tan2MA MBk k
2
2
1
MA
MB
MA
kk k ,1 2MA MB
y yk kx x
,化简可得:
即
若 在 轴下方,则 ,同理可得:
当 时,即 为等腰直角三角形, 或 满足上述方程
所以当 在一四象限时,轨迹方程为
当 在 线 段 上 时 , 同 样 满 足 , 所 以 线 段 的 方 程
也为 的轨迹方程
综上所述: 的轨迹方程为 或
答案: 或
例 3:已知 是抛物线 的焦点, 是该抛物线上的动点,则线段 中点 的轨迹
方程是( )
A. B. C. D.
思路:依题意可得 , , ,则有 ,因
为 自身有轨迹方程,为: ,将 代入可得关于 的方程,即
的轨迹方程:
答案:D
例 4:已知 是抛物线 上的焦点, 是抛物线上的一个动点,若动点 满足
2
2 1 22 21 1
y
y x
x y
x
2 23 3x y
2
2 13
yx
M x tan , tan2MA MBk k
2
2 13
yx
2 2
MAB 2,3M 2, 3M
x
2
2 1 13
yx x
M AB 2 0MBA MAB AB
0 1 2y x M
M
2
2 1 13
yx x 0 1 2y x
2
2 1 13
yx x 0 1 2y x
F 2 4x y P PF M
2 1
2x y 2 12 16x y 2 2 2x y 2 2 1x y
0,1F ,M x y 0 0,P x y
0
0
0 0
22
1 2 1
2
xx x x
y y yy
0 0,P x y 2
0 04x y 0
0
2
2 1
x x
y y
,x y
M 2 22 4 2 1 2 1x y x y
F 2 4y x P M
,则 的轨迹方程是__________
思路:考虑设 ,由抛物线 可得: ,且 ,故考虑
利用向量关系得到 与 的关系,从而利用代入法将 用 进行表示,代入到
即可
解:由抛物线 可得:
设
①
在 上 ,将①代入可得:
,即
答案:
例 5 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点
,且 , 分别为椭圆的左,右顶点,则直线 与
的交点所在曲线方程为________
思 路 : 由 椭 圆 可 得 : , 从 而 可 确 定 线 与 的 方 程 。
,若联立方程解 ,则形式较为复杂不易化
简,观察两条直线方程的特点,可发现若两边相乘,有平方差的特点,且 与椭圆相交,
则 关 于 轴 对 称 , 有 。 所 以 两 方 程 左 右 两 边 分 别 相 乘 可 得 :
,再利用 满足椭圆方程,消去等式中的 即可
解:由椭圆可知: ,设交点坐标 。
与椭圆相交于 关于 轴对称
2FP FM M
0 0, , ,M x y P x y 2 4y x 1,0F 2
0 04y x
,x y 0 0,x y 0 0,x y ,x y
2
0 04y x
2 4y x 1,0F
0 0, , ,M x y P x y 0 01, , 1,FP x y FM x y
2FP FM
00
00
2 11 2 1
22
x xx x
y yy y
P
2 4y x 2
0 04y x
22 4 2 1y x 2 2 1y x
2 2 1y x
xOy 4 4x t t
2 2
116 9
x y
1 1 2 2, , ,P t y P t y 1 20, 0y y 1 2,A A 1 2A P 2 1A P
1 24,0 , 4,0A A 1 2A P 2 1A P
2 1
1 2 2 1: 4 , : 44 4
y yA P y x A P y xt t ,x y
x t
1 2,P P x 2 1y y
2
2 21
2 416
yy xt 1 1,P t y 1,t y
1 24,0 , 4,0A A ,x y
x t 1 2,P P 1 2,P P x
2 1y y
考虑直线 与 的方程:由 可得:
①
同理可得: ②
① ②可得: ③
由 在椭圆上可得: ,代入③可得:
,整理后可得:
答案:
小 炼 有 话 说:本题消元的方法比较特殊,是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点,
从而两式相乘,再进行代入消元。
例 6:若动圆过定点 且和定圆 外切,则动圆圆心 的轨迹方
程是___________
思路:定圆的圆心为 ,观察到恰好与 关于
原点对称,所以考虑 点轨迹是否为椭圆或双曲线,设动圆
的 半 径 为 , 则 有 , 由 两 圆 外 切 可 得
,所以 ,即距离差为定值,所以
判断出 的轨迹为双曲线的左支,则 ,解得 ,所以轨迹方程为
答案:
小 炼 有 话 说:本题从所给条件中的对称定点出发,先作一个预判,从而便可去寻找符合定义
1 2A P 2 1A P 1 2 14,0 , ,A P t y 1 2
1
4A P
yk t
1
1 2 : 44
yA P y xt
1
2 1 : 44
yA P y xt
2
2 21
2 1616
yy xt
1 1,P t y 2 2
2 21
1
91 1616 9 16
t y y t
2
2 2
2
9 16 1616 16
ty xt
2 2
116 9
x y
2 2
116 9
x y
3,0A 2 2: 3 4C x y P
3,0C 3,0A
P
P r PA r
2PC r 2PC PA
P 1, 3a c 2 2 2 8b c a
2
2 1 18
yx x
2
2 1 18
yx x
的要素,即线段的和或差。要注意本题中 ,所以轨迹为双曲线的一支。
例 7:是圆 的圆心为 , 是圆内一定点, 为圆周上任一点,线段
的垂直平分线与 的连线交于点 ,则 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
思路:可得 ,发现刚好与 均在 轴上且关于原点对称,从而联想到双曲线或
椭圆的焦点,观察几何性质可得:由 的中垂线可得 ,
从而考虑 ,即 到 的
距 离 和 为 定 值 5 , 从 而 判 断 出 其 轨 迹 为 椭 圆 , 可 得
, 则 , 所 以 椭 圆 方 程 为 :
答案:C
例 8:已知直线 与抛物线 交于 两点,且 ,其
中 为坐标原点,若 于 ,则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
思路:先处理条件 可得由 为邻
边 的 平 行 四 边 形 对 角 线 相 等 , 所 以 该 四 边 形 为 矩 形 。 即
,设 ,即 ,联立
直线与抛物线方程并利用韦达定理可得 ,从而可得直线
过定点 ,结合图像性质可得 ,则 的轨迹为以 为直径的圆,轨迹方程
为
解: ,且 为 为邻边的平行四边形对角
线
PC PA
2 21 25x y C 1,0A Q
AQ CQ M M
2 24 4 121 25
x y
2 24 4 121 25
x y
2 24 4 125 21
x y
2 24 4 125 21
x y
1,0C 1,0A x
AQ AM QM
5CM AM CM QM CQ r M ,A C
52 5 , 12a a c 2 2 2 21
4b a c
2 24 4 125 21
x y
y kx m 2 2y x ,A B OA OB OA OB
O OM AB M M
2 2 2x y 2 21 1x y
22 1 1x y 2 21 4x y
OA OB OA OB ,OA OB
OA OB 1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 0x x y y
2m k
2,0 OM AB M OC
2 21 1x y
OA OB OA OB
,OA OB OA OB ,OA OB
该四边形为矩形,即
设 ,
联立方程: ,消去 可得:
,由 可得
,即直线过定点
即 的轨迹为以 为直径的圆
则该圆的圆心为 ,半径
轨迹方程为
答案:B
例 9:过点 作圆 的割线,交圆 于 两点,在线段
上取一点 ,使得 ,求点 的轨迹
解:设点 ,直线 的斜率为
由 可得:
①,联立方程:
,消去 可得:
代入①可得:
OA OB
1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 0OA OB x x y y
2 2
y kx m
y x
x
2
2 2 2 02
kyy m ky y m
1 2
2my y k
2 2 2
1 2
1 2 24
y y mx x k
2
2
2 0m m
k k 0km 2m k
: 2 2l y kx m kx k k x 2,0C
OM AB OM CM M OC
1,0 1r
2 21 1x y
6,0M 2 2: 6 4 9 0C x y x y C ,A B
AB Q 1 1 2
MA MB MQ Q
1 1 2 2, , , , ,A x y B x y Q x y AB k
2 2 2
1 21 6 , 1 6 , 1 6MA k x MB k x MQ k x
1 1 2
MA MB MQ
2 2 2
1 2
1 1 2
1 6 1 6 1 6k x k x k x
1 2
1 1 2
6 6 6x x x
1 2
1 2 1 2
12 2
6 36 6
x x
x x x x x
2 2
6
6 4 9 0
y k x
x y x y
x
2 2 2 21 2 6 2 3 3 12 8 3 0k x k k x k k
2 2
1 2 1 22 2
2 6 2 3 3 12 8 3
,1 1
k k k k
x x x xk k
即 ,而 代入可得:
化简可得: ,因为 在圆内
所以点 的轨迹是直线 被圆截得的弦
例 10:如图所示,点 在圆 上运动, 轴,点 在 的延长线上,且
(1)求点 的轨迹方恒,并求当 为何值时, 的轨迹表示焦点在 轴上的椭圆
(2)当 时,在(1)中所得曲线记为 ,已知直线 , 是 上的动点,射
线 ( 为坐标原点)交曲线 于点 ,又点 在 上且满足 ,求点
的轨迹方程
解:(1 )思路: 自身有轨迹方程,且条件中所求的点 与点
存在联系( ),所以考虑利用代入法求轨迹方程。设
,然后利用向量关系找到 的坐标与 坐标
的联系 ,从而代入到 所在的方程便得到关于 的等式,即 的轨迹方程
设
轴 ①
2
2
2 2
2 2
2 6 2 3
12 21
63 12 8 3 2 6 2 3
6 361 1
k k
k
xk k k k
k k
4 18 2
81 6
k
x
6MQ
yk k x
4 18 26
81 6
y
x
x
9 2 27 0x y Q
Q 9 2 27 0x y
N 2 2 4x y DN x M DN
0DM DN
M M x
1
2 C : 12
xl y P l
OP O C R Q OP 2OQ OP OR
Q
N M
N DM DN
0 0, , ,M x y N x y M N
0
0
1
x x
y y
N ,x y M
0 0, , ,M x y N x y
00, , 0,DM y DN y
DM DN
0y y
DN x 0x x
0
0
0 0
1
x xx x
y y y y
由 在 上可知: ,代入①可得:
即
当 时, 的轨迹表示焦点在 轴上的椭圆
(2)思路:由(1)可知曲线方程为 ,从而题目中的点 均有方程。设所求点
,则可考虑寻找 的坐标与 之间的联系。本题 共线是
关键点,因为在这条线上的点,其与 点距离的比值即为横纵坐标的比值。所以先从 入
手,题目中没有 的比例,则不妨设 ,进而得到 与 的联
系 : , 再 寻 找 的 联 系 , 结 合 条 件 可 知
,从而用 即可表示出 与 的联系(而不用再
设字母): 。所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程,再消去
即可得到 的轨迹方程
解:由(1)可得曲线方程为:
设
设 由线段比例可得:
由 同理可得:
N 2 2 4x y 2 2
0 0 4x y
2
2
2 4yx
2 2
2 14 4
x y
0 1 M x
2
2 14
x y ,P R
,Q x y Q 1 1 2 2, , ,P x y R x y , , ,O P Q R
O ,P Q
,OP OQ OP tOQ ,Q x y 1 1,P x y
1
1
x tx
y ty
,Q R 2OQ OP OR
2 2 2
2 2
2 2 2
OP OR x yt OQ x yOQ
t ,Q x y 2 2,R x y
2 2
2
2 2
2
x tx
y ty
t
Q
2
2 14
x y
1 1 2 2, , , , ,P x y R x y Q x y 2OQ OP OR
OP tOQ 1 1OP x ytOQ x y
1
1
x tx
y ty
2OQ OP OR
2 2 2
2 2
2 2 2
OP OR x yt OQ x yOQ
2 2
2
2 2
2
x tx
y ty
分别在直线与椭圆上 ,代入 可得:
,化简可得: 的轨迹方程为:
,P R
2
21 2
1 21, 12 4
x xy y
2 2
1 2
2 2
1 2
,x tx x tx
y ty y ty
2
2
2
2
12
2 414
tx ty tx txty ty
tx ty
Q
2 22 4 4 0x x y y