专题24+三角函数的图象和性质1（正弦型）-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 13页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎24 三角函数的图象和性质1（正弦型）‎ ‎【考点讲解】1.能画出的图象；‎ 2. 了解三角函数的周期性.理解正弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.‎ 一、具本目标：1.会用“五点法”作图；‎ ‎2.备考重点：(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象；(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.正弦函数的图象与性质：‎ 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，．‎ 周期性 奇偶性 ‎,奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数． ‎ 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。‎ ‎2.用五点法画出正弦型函数的图象，先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象. ‎ ‎3.对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ ‎4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.‎ ‎5.确定函数当时函数的单调性：对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ 求函数的单调区间的步骤：(1)将化为正．(2)将看成一个整体，由三角函数 的单调性求解．‎ ‎【特别提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域．‎ ‎6.确定函数的对称性时，先将函数化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线，图象与直线的交点是图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想，就可经求出三角函数的对称轴与对称中心．‎ ‎7.对于函数的奇偶性判断：如果为偶函数，就有;‎ 如果为奇函数，就有.‎ ‎8.函数的周期性：求的周期的方法 ‎（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；‎ ‎（2）公式法：使用此法时先将函数转化为的形式，最小正周期是. ‎ ‎(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；‎ ‎(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.‎ ‎2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。‎ ‎9.在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 也就是.可以求出函数的单调递增区间，，也就是，.同理可以求出函数的单调递减区间，，即，‎ ‎，所以正确的选项是A选项.‎ ‎【答案】A ‎2.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】函数是偶函数的充要条件是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）‎ A.， B.， C.， D.，‎ ‎【解析】本题考点是根据题中给出的条件求正弦型函数的解析式，要把握好题中给出的条件.由题意可得：，这里，所以有 ‎，由题中的条件可知，函数的最小正周期大于，也就是，所以有当时，，可得，由题中的条件，得到.‎ ‎【答案】A ‎ ‎4.【2016山东文理】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎5.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【解析】本题考点是正弦型三角函数的性质，‎ 是因为为的零点,为图像的对称轴,所以,即,所以,此时，又因为在单调,所以，,即,由此的最大值为9.故选B. ‎ ‎【答案】A ‎8.【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．‎ ‎【解析】本题考点是正弦型函数的对称性，通过给出的两个条件求待定参数的问题.所以要用好对称轴这个条件，由题意可知图象关于直线对称，意味着函数在处取得最大或最小值是，因此有 ‎，也就是，可以求得，由题知，所以有 ‎【答案】‎ ‎9.【2017山东，理16】设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题设知，所以，.‎ 故，，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.‎ 根据得到，‎ 当时，时，取得最小值为.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.‎ ‎10.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.‎ ‎ 因为的对称中心为，. ‎ ‎ 令，解得， . ‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，. 由可知，当时，取得最小值. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2.【2014四川，理3】 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【解析】‎ 试题分析：，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.‎ ‎【答案】A ‎3.【2014辽宁理9】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎4.【2015湖南理2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：向右平移个单位后，得到，‎ 又∵，两函数最大与最小值的距离为2，‎ ‎∴不妨，，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，故选D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎5.【2017课标3，文6】函数的最大值为（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎【解析】由诱导公式可得： ，‎ 则： ,‎ 函数的最大值为 .‎ ‎【答案】A ‎6.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎ （1)求实数m的取值范围；‎ ‎ （2)证明： ‎ ‎【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎(2)1) ‎ ‎ （其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.‎ ‎2)因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时， ‎ 当时, ‎ 所以 解法二：(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时， ‎ 当时, ‎ 所以 于是