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  • 2021-06-19 发布

专题35+两条直线的位置关系(题型专练)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

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‎1.已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=(  )‎ A.-1 B.2‎ C.0或-2 D.-1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】若a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;当a≠0时,两直线若平行,则有=≠,解得a=-1或2。‎ ‎2.当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】解方程组得两直线的交点坐标为,因为0<k<,所以<0,>0,故交点在第二象限。 ‎ ‎3.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为(  )‎ A.0或- B.或-6‎ C.-或 D.0或 ‎【答案】B ‎4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0与x+ay=0上,且AB线段的中点为P,则线段AB的长为(  )‎ A.11 B.10‎ C.9 D.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两直线垂直,得-·2=-1,解得a=2.所以中点P的坐标为(0,5)。则OP=5,在直角三角形中斜边的长度AB=2OP=2×5=10,所以线段AB的长为10。‎ ‎5.已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的方程为(  )‎ A.y=x+或y=-x- B.y=x+或y=-x- C.y=x+1或y=-x-1‎ D.y=x+或y=-x- ‎【答案】B ‎6.直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x,y轴的截距和最小时,实数a的值是(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+。∵a>1,‎ ‎∴a-1>0.∴t≥5+2=9。‎ 当且仅当a-1=,即a=3时,等号成立。‎ ‎7.定义点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2,则下列命题正确的是(  )‎ A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行 B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直 C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1·d2≤0,则直线P1P2与直线l相交 ‎【答案】A ‎【解析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由d1=d2=1,‎ 得ax1+by1+c=ax2+by2+c=≠0,‎ 化简得=-(x1≠x2),‎ 由x1=x2得y1≠y2,b=0,又P1,P2不在直线l上,所以直线P1P2与直线l平行;由d1=1,d2=-1或d1+d2=0得ax1+by1+c=-(ax2+by2+c),化简得a(x1+x2)+b(y1+y2)=-2c,得不到a(x1-x2)+b(y1-y2)=0;若d1·d2≤0,则P1,P2可能都在直线l上,所以命题正确的是A项.‎ ‎8.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(  )‎ A. B. C.2 D.2 ‎【答案】A ‎9.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为(  )‎ A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0‎ C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由直线与向量a=(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率k=,所以直线的方程为y-3=(x-2),其与y轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A正确.‎ ‎10.若点P在直线l:x-y-1=0上运动,且A(4,1),B(2,0),则|PA|+|PB|的最小值是(  )‎ A. B. C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设A(4,1)关于直线x-y-1=0的对称点为A′(2,3),∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|,‎ 当P,A′,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值 ‎|A′B|==3.‎ ‎11.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为(  )‎ A. B.4 C. D.2 ‎【答案】C ‎【解析】∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,‎ ‎∴=≠,解得a=-1,‎ ‎∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,‎ ‎∴l1与l2的距离d==.‎ ‎12.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点 (  )‎ A.(0,4) B.(0,2)‎ C.(-2,4) D.(4,-2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2). ‎ ‎13.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________.‎ ‎【答案】-9‎ ‎14.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,‎ 于是 解得 故m+n=.‎ ‎15.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则a=________,此时点P的坐标为________.‎ ‎【答案】1 (3,3)‎ ‎【解析】∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,‎ ‎∴a×1+1×(a-2)=0,‎ 即a=1,联立方程 易得x=3,y=3,∴P(3,3).‎ ‎16.已知点A(0,1),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0,则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________,直线l2关于直线l1的对称直线的方程是__________.‎ ‎【答案】(2,-1) 2x-y-5=0‎ ‎17.已知M(x,y)为曲线C:+=1上任意一点,且A(-3,0),B(3,0),则|MA|+|MB|的最大值是________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】原曲线方程可化为+=1,作图如下:‎ 由上图可得要使|MA|+|MB|取得最大值,则M必须在菱形的顶点处,不妨取M(0,±),或M(±4,0),均可求得|MA|+|MB|=8,故|MA|+|MB|的最大值为8.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是______________.‎ ‎【答案】6x-8y+1=0‎ ‎【解析】由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k=,∴直线l的方程为y=x+b,直线l1为y=x++b,取直线l上的一点P,则点P关于点(2,3)的对称点为,∴6-b-=(4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,即6x-8y+1=0.‎ ‎19.若直线l1:2x-5y+20=0,l2:mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数m 的值为__________。‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆,则四边形对角互补。因为两坐标轴垂直,故l1⊥l2,‎ 即2m+10=0,∴m=-5。‎ ‎20.点P(0,1)在直线ax+y-b=0上的射影是点Q(1,0),则直线ax-y+b=0关于直线x+y-1=0对称的直线方程为__________。‎ ‎【答案】x-y-1=0‎ 必在x-y-1=0上,且 则代入x-y-1=0,得x-y-1=0。 ‎ ‎21.已知点A(-5,4)和B(3,2),则过点C(-1,2)且与点A,B的距离相等的直线方程为__________。‎ ‎【答案】x=-1或x+4y-7=0‎ ‎【解析】由题可知,当过点C的直线斜率不存在时,即直线为x=-1时,点A,B到直线的距离均为4;当直线斜率存在时,可知要使点A,B到直线的距离相等,则过点C的直线的斜率k=kAB==-,故此时直线方程为y-2=-(x+1),即x+4y-7=0。‎ 综上所述,所求直线方程为x=-1或x+4y-7=0。‎ ‎22.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程。‎ ‎(1)l′与l平行且过点(-1,3);‎ ‎(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4;‎ ‎(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。‎ ‎23.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值。‎ ‎【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,‎ 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,‎ ‎∴=3。‎ 即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2或。‎ ‎∴l方程为x=2或4x-3y-5=0。‎ ‎(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)。‎ ‎∴dmax=|PA|=。‎ ‎24.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过点Q(1,1)。‎ ‎(1)求入射光线的方程;‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度。 ‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线,‎ 因而|NQ|=|NQ′|,‎ ‎∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|‎ ‎==。‎ 即这条光线从P到Q的长度是。‎ ‎25.已知方程(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2).‎ ‎(1)证明:对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标;‎ ‎(2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ ‎=|PM|,‎ 此时对应的直线方程是y+2=x-2,即x-y-4=0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x-y-4=0,‎ ‎∴M与Q不可能重合,而|PM|=4,‎ ‎∴|PQ|<4,故所证成立.‎ ‎26.已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ 解 (1)直线l2:2x-y-=0,所以两条平行直线l1与l2间的距离为d==,‎ 所以=, ‎ 即=,‎ 又a>0,解得a=3.‎ ‎(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).‎