河南省郑州市第一〇六中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试卷 8页

郑州市第一〇六中学2018—2019学年高二上学期月考考试 高二数学试题 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） ‎ ‎1、（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎2、 （ ）‎ A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形 ‎3、（ ）‎ A、45° B、135° C、45°或135° D、 以上答案都不对 ‎4.已知等差数列{an}满足，则(　　)‎ A.20 B.22 C.24 D.-8‎ ‎5、（ ）‎ A、30° B、60° C、120° D、150°‎ ‎6．等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知等差数列中，a2＋a9＝a6，则其前9项和＝(　　)‎ A.-2 B.0 C.1 D.2‎ ‎8．在中，已知，两边是方程的两根，则等于 （ ）‎ A、　　 B、　　 C、 D、‎ ‎9.若{an}为等比数列，，则(　　)‎ A. B. C.24 D.48‎ ‎10.已知等差数列的前项和为，则使数列前项和最大的等于（　　）‎ A．7 　 　B．8 　　　 C.9 　 　D．10‎ ‎11.在中，若，则是（　 　）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎12.定义为个正数的“均倒数”.已知各项均为正数的数列{an}的前项的“均倒数”为，求an＝(　　)‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分．） ‎ ‎13． ;‎ ‎14.,若 ;‎ ‎15. ，已知 ;‎ ‎16.设等比数列的前n项和为满足 ; ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．） ‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 在中，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 在等比数列中，． ‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设， 求数列的前n项和． ‎ ‎ ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD= ，AC= ，． （Ⅰ）求sin∠C的值； （Ⅱ）若BD=2DC，求边AB的长．‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知数列 满足 设 （1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列,并说明理由； （3）求的通项公式.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式．‎ ‎(2)记Sn为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼救信号,我海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在方位角为45°,与A处相距10 n mile的C处,并测得货船正沿方位角为105°的方向,以10 n mile/h的速度向前行驶,我海军护航舰立即以10 n ‎ mile/h的速度前去营救,求护航舰的航向和与货船相遇所需的时间.(方位角:从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角）‎ ‎2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试卷 参考答案 ‎1--5 ACACB 6--10 BBBCC 11--12 CA ‎13、 14、 15、 16、64‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由和可得, ‎ 所以， ‎ 又 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为,,‎ 由余弦定理可得 ‎ ‎，即. ‎ 由正弦定理可得，‎ 所以.‎ ‎18.解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， 由a2=3，a5=81，得 ，解得 ．∴ ； （Ⅱ）∵ ，bn=log3an ， ∴ ． 则数列{bn}的首项为b1=0， 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2）， 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．∴ ‎ ‎19. （Ⅰ）在△ABC中，因为cos∠ADB=﹣ 且∠ADB∈（0，π）， 所以sin∠ADB= ． 因为∠CAD= ，所以C=∠ADB﹣ ‎ ‎． 所以sin∠C=sin（∠ADB﹣ ）= = ． ‎ ‎（Ⅱ）在△ACD中，由正弦定理得 ，∴CD= ， ∵BD=2DC，∴BC= ，∴AB= = ‎ ‎20.‎ ‎21.‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，‎ 依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，‎ 化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，‎ 当d＝0时，an＝2；‎ 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，‎ 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.‎ ‎(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．‎ 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.‎ 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，‎ 解得n>40或n<－10(舍去)，‎ 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.‎ 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.‎ ‎22. ‎ 解:设护航舰与货船在B处相遇,且所需的时间为t h.由题可得∠ACB=120°.‎ 在△ABC中,根据余弦定理,有AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去),所以护航舰需1 h与货船相遇.此时AB=10,BC=10,又AC=10,所以∠CAB=30°,所以护航舰航行的方位角为75°.‎