高中数学：《综合测试题》（新人教A版选修2-3） 15页

高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）‎ 一、选择题 ‎1．已知，则方程所表示的不同的圆的个数有（　　）‎ Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9‎ 答案：Ａ ‎ ‎ ‎2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（　　）‎ Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种 答案：Ｄ ‎3．的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（　　）‎ Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项 答案：Ｂ ‎4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（　　）‎ Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118‎ 答案：Ｃ ‎5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（　　）‎ Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59‎ 答案：Ｄ ‎6．正态总体的概率密度函数为，则总体的平均数和标准差分别为（　　）‎ Ａ．0，8 B．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2‎ 答案：Ｄ ‎7．在一次试验中，测得的四组值分别是，则y与x 之间的回归直线方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（　　）‎ Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20‎ 答案：Ｃ ‎9．若随机变量η的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 则当时，实数x的取值范围是（　　）‎ Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2‎ 答案：Ｃ ‎10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（　　）‎ ‎ Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8‎ 答案：Ａ ‎11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎12．已知随机变量则使取得最大值的k值为（　　）‎ Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5‎ 答案：Ａ 二、填空题 ‎13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有　　　　种．‎ 答案：80‎ ‎14．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连　　　　条直线．‎ 答案：170‎ ‎15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9；‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是．‎ 其中正确结论的序号是　　　　　（写出所有正确结论的序号）．‎ 答案：①③‎ ‎16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是　　　　（以数值作答）．‎ 答案：‎ 三、解答题 ‎17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎（1）共有多少种放法？‎ ‎（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？‎ ‎（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？‎ ‎（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？‎ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：种．‎ ‎（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：种．‎ ‎（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.‎ ‎（4）先从四个盒子中任意拿走两个有种，问题转化为：“‎ ‎4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；第二类：有种放法.因此共有种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：种．‎ ‎18．求的展开式中的系数．‎ 解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.‎ ‎．‎ 所以是由第一个括号内的1与第二括号内的的相乘和第一个括号内的与第二个括号内的相乘后再相加而得到，故的系数为．‎ 解法二：利用通项公式，因的通项公式为，‎ 的通项公式为，‎ 其中，令，‎ 则或或 故的系数为．‎ ‎19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：‎ 患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 ‎60‎ ‎260‎ ‎320‎ 生活有规律 ‎20‎ ‎200‎ ‎220‎ 合计 ‎80‎ ‎460‎ ‎540‎ 根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？‎ 解：由公式得 ‎．‎ ‎，‎ 我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.‎ ‎20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：‎ ‎（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率；‎ ‎（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．‎ 解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A，且其概率为p，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.‎ (1) 因新药有效且p=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为： ‎ ‎．‎ ‎（2）因新药无效，故p=0.25，实验被认为有效的概率为：‎ ‎．‎ 即新药有效，但被否定的概率约为0.514；‎ 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.‎ ‎21．两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：‎ 对阵队员 队队员胜的概率 队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．‎ ‎(1)求的概率分布列；‎ ‎(2)求，．‎ 解：（1）的可能取值分别为3，2，1，0．‎ ‎；；‎ ‎；‎ ‎．‎ 由题意知，‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎； ‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2），‎ 因为，所以．‎ ‎22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料：‎ 产量（千件）‎ 生产费用 ‎（千元）‎ ‎40‎ ‎150‎ ‎42‎ ‎140‎ ‎48‎ ‎160‎ ‎55‎ ‎170‎ ‎65‎ ‎150‎ 产量（千件）‎ 生产费用 ‎（千元）‎ ‎79‎ ‎162‎ ‎88‎ ‎185‎ ‎100‎ ‎165‎ ‎120‎ ‎190‎ ‎140‎ ‎185‎ 完成下列要求：‎ ‎（1）计算x与y的相关系数；‎ ‎（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；‎ ‎（3）设回归直线方程为，求系数，．‎ 解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定．‎ ‎(1)制表 ‎1‎ ‎40‎ ‎150‎ ‎1600‎ ‎22500‎ ‎6000‎ ‎2‎ ‎42‎ ‎140‎ ‎1764‎ ‎19600‎ ‎5880‎ ‎3‎ ‎48‎ ‎160‎ ‎2304‎ ‎25600‎ ‎7680‎ ‎4‎ ‎55‎ ‎170‎ ‎3025‎ ‎28900‎ ‎9350‎ ‎5‎ ‎65‎ ‎150‎ ‎4225‎ ‎22500‎ ‎9750‎ ‎6‎ ‎79‎ ‎162‎ ‎6241‎ ‎26244‎ ‎12798‎ ‎7‎ ‎88‎ ‎185‎ ‎7744‎ ‎34225‎ ‎16280‎ ‎8‎ ‎100‎ ‎165‎ ‎10000‎ ‎27225‎ ‎16500‎ ‎9‎ ‎120‎ ‎190‎ ‎14400‎ ‎36100‎ ‎22800‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎140‎ ‎185‎ ‎19600‎ ‎34225‎ ‎25900‎ 合计 ‎777‎ ‎1657‎ ‎70903‎ ‎277119‎ ‎132938‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 即与的相关关系．‎ ‎（2）因为．‎ 所以与之间具有很强的线性相关关系．‎ ‎（3），．‎ 高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）‎ 一、选择题 ‎1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（　　）‎ Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种 答案：Ｃ ‎2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ ‎3．已知集合，，从M中选3个元素，N中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T，则这样的集合T共有（　　）‎ Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个 答案：Ｃ ‎4．的展开式中的系数是（　　） ‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ ‎5．被2006除，所得余数是（　　）‎ Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1‎ 答案：Ｂ ‎6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（　　）‎ Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285‎ 答案：Ａ ‎7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于‎4”‎；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于‎7”‎，则的值等于（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｃ ‎8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A，B，C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类、C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A类、B类、C类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（　　）题目得分的期望值更大一些（　　）‎ Ａ．A类 Ｂ．B类 Ｃ．C类 Ｄ．都一样 答案：Ｂ ‎9．已知ξ的分布列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 并且，则方差（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎10．若且，则等于（　　）‎ ‎ Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4‎ 答案：Ａ ‎11．已知x，y之间的一组数据：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y与x的回归方程必经过（　　）‎ Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)‎ 答案：Ｃ ‎12．对于，当时，就约有的把握认为“x与y有关系”（　　）‎ Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%‎ 答案：Ｄ 二、填空题 ‎13．的展开式中，常数项为　　　　（用数字作答）．‎ 答案：672‎ ‎14．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为　　　　（结果用分数表示）．‎ 答案：‎ ‎15．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是　　　　．‎ 答案：乙 ‎16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有　　　　对异面直线．‎ 答案：15，45‎ 三、解答题 ‎17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？‎ 解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：‎ ‎（1）5张牌全部分开出，有种方法；‎ ‎（2）2张2一起出，3张A一起出，有种方法；‎ ‎（3）2张2一起出，3张A分开出，有种方法；‎ ‎（4）2张2一起出，3张A分两次出，有种方法；‎ ‎（5）2张2分开出，3张A一起出，有种方法；‎ ‎（6）2张2分开出，3张A分两次出，有种方法；‎ 因此共有不同的出牌方法种．‎ ‎18．已知数列的通项是二项式与的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n项和．‎ 解：按及两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当中出现的偶数次幂时，才能与的的次数相比较．‎ 由，‎ ‎ ‎ 可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．‎ ‎(1)求各会员获奖的概率；‎ ‎(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a最多可设为多少元？‎ 解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为；‎ 抽两次得标号之和为11或10的概率为，‎ 故各会员获奖的概率为．‎ ‎（2）‎ ‎30‎ 由，‎ 得元．‎ 所以最多可设为580元．‎ ‎20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：‎ 存活数 ‎ 死亡数 合计 未用新药 ‎101‎ ‎38‎ ‎139‎ 用新药 ‎129‎ ‎20‎ ‎149‎ 合计 ‎230‎ ‎58‎ ‎288‎ 试分析新药对防治猪白痢是否有效？‎ 解：由公式计算得，‎ 由于，故可以有的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．‎ ‎21．甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．‎ ‎(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？‎ ‎(2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．‎ 解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 ‎，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是，即甲获胜的概率为，由，且，所以，当时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.‎ ‎(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以取出的3个球中红球个数的期望：．‎ ‎22．规定，其中，m为正整数，且，这是排列数 (n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）排列数的两个性质：①，② (其中m，n是正整数)．是否都能推广到(，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；‎ ‎（3）确定函数的单调区间．‎ 解：（1）；‎ ‎（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是 ‎①，‎ ‎②．‎ 事实上，在①中，当时，左边，‎ 右边，等式成立；‎ 在②中，当时，左边右边，等式成立；‎ 当时，左边 右边，‎ 因此②成立．‎ ‎（3）先求导数，得．‎ 令，解得或．‎ 因此，当时，函数为增函数，‎ 当时，函数也为增函数，‎ 令，解得，‎ 因此，当时，函数为减函数，‎ 函数的增区间为，；减区间为．‎