湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 16页

宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考 高三（文科）数学 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1.若，则集合的子集个数是（ ）‎ A. 3个 B. 5个 C. 7个 D. 8个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据补集的定义可知，所以子集个数为．‎ 考点：子集个数.‎ ‎2.已知，则的值等于（ ）‎ A. B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ 考点：分段函数.‎ ‎3.已知,则与垂直的向量是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量坐标公式和向量垂直的公式，先表示出，再进行求解即可 ‎【详解】，‎ A项中，，，不符合；‎ B项中，，，不符合；‎ C选项中，,∵,∴与垂直，符合；‎ D选项中，，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题 ‎4.幂函数的图象经过点，则（ ）‎ A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是偶函数，且在上单调递减 C. 是奇函数，且在上单调递减 D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数为，由图象过点得，由函数定义域知函数不具有奇偶性，再由得到函数在单调递增.‎ ‎【详解】由题意设，‎ 因为函数的图象经过点，‎ 所以，解得，即，‎ 所以既不奇函数，也不是偶函数，且在上是增函数.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式后，进一步考查幂函数的奇偶性、单调性，考查对函数性质的理解.‎ ‎5.下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，选项A中的函数既是奇函数又是增函数；选项B中函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数；选项C中函数是奇函数，且在是减函数，在上是减函数；选项D中函数是既不是奇函数也不是偶函数，且上是增函数.故选A.‎ 考点：函数的奇偶性、单调性.‎ ‎6.已知,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察可知，，则由诱导公式可求得 ‎【详解】∵,‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式的用法，属于基础题 ‎7.已知向量,夹角为,且,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求得，再由即可求得 ‎【详解】由题可知，，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量模长的求法，属于基础题 ‎8.定义在上的函数对任意的正实数恒成立，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可判断函数为增函数，可将转化为，再去“”即可求解 ‎【详解】∵函数对任意的正实数均有,‎ ‎∴是定义在上的增函数,‎ ‎∴不等式,即,可转化为，‎ ‎∴所求不等式的解集是 故选：D ‎【点睛】本题考查根据函数的增减性解不等式，属于基础题 ‎9.函数的图像的一条对称轴方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可令，求出对称轴的通式，给赋值，结合选项判断即可 ‎【详解】令,得,当时,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的通式的求法，属于基础题 ‎10.设在内单调递增，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将命题中函数单增转化为在上恒成立，求出参数取值范围，即可求解 ‎【详解】对函数求导可得，，‎ ‎∵在内单调递增，则在上恒成立．即恒成立，从而，∴，‎ 又，显然是的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基础题 ‎11.函数的零点个数是( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的零点可转化为两个函数图像的交点，画出两个函数的图象，则两个函数图象的交点个数即为已知函数的零点个数.‎ ‎【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中作函数 与的图象，可知两个函数图象有5个交点，‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查函数的图象的应用，考查函数零点概念和数形结合思想的应用．‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设 ，‎ 则,即x>0时 是增函数，‎ 当x>1时,g(x)>g(1)=0,此时f(x)>0；‎ ‎00；‎ x<−1时f(x)=−f(−x)<0.‎ 则不等式x⋅f(x)>0等价为 或 ，‎ 即x>1或x<−1，‎ 则不等式xf(x)>0的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞)，‎ 本题选择A选项.‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13.已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，根据解出即可.‎ ‎【详解】，所以，所以，填.‎ ‎【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别.‎ ‎14.已知两向量，若，则_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量共线的性质可得,再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为，运算求得结果.‎ ‎【详解】两向量，若，‎ 则，即，‎ ‎，故答案为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题.‎ ‎ 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.‎ ‎15.已知向量，，则向量在上的投影为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出利用投影公式计算即可.‎ ‎【详解】，则向量在上的投影为 故答案为 ‎【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.‎ ‎16.给出下列四个命题：‎ ‎①的对称轴为；‎ ‎②函数的最大值为2；‎ ‎③；‎ ‎④函数在区间上单调递增．‎ 其中正确命题的序号为__________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①，由正弦型函数的通式求解即可；‎ 对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断；‎ 对③，由特殊函数值可判断错误；‎ 对④，先结合诱导公式将函数化为，由求出 的范围，再结合增减性判断即可 ‎【详解】令，故①正确；，故该函数的最大值为2，故②正确；‎ 当时，，故③错误；‎ 由，故在区间上单调递减，故④错误．‎ 故答案为：①②‎ ‎【点睛】本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题 三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共6小题70分)‎ ‎17.已知,且.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求向量与的夹角.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量的坐标公式结合可求参数；‎ ‎（2）由公式，再结合坐标运算求解即可 ‎【详解】,.‎ ‎(1)∵,∴,即,‎ 解得.‎ ‎(2),‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查由向量垂直求参数问题，向量夹角的求解，属于基础题 ‎18.已知全集，集合，，．‎ Ⅰ求，．‎ Ⅱ若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)， (Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ根据交集与并集、补集的定义，计算即可；‎ Ⅱ根据子集定义，列出不等式组求a的取值范围．‎ ‎【详解】Ⅰ全集，集合，，‎ ‎，‎ 或，‎ ‎；‎ Ⅱ，，，‎ 若，则，‎ 解得，‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求该函数的最小正周期、单调增区间;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期,单调递增区间为:（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数化简可得，再由正弦型函数周期与单调区间通式求解即可；‎ ‎（2）由得，又，即可求解 ‎【详解】,,‎ ‎∴的最小正周期,‎ 令,可得,‎ 即得单调递增区间为:‎ ‎(2)由,得,可得:,‎ 得:‎ ‎【点睛】本题考查函数周期、单调区间求法，二倍角公式的应用，属于中档题 ‎20.已知，设：指数函数在上为减函数，：不等式的解集为.若和有且仅有一个正确，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出命题正确时和命题成立时参数的取值范围，再结合正确不正确和正确不正确两种具体情况求解即可 ‎【详解】解析：当正确时，‎ ‎∵函数在上为减函数，∴，‎ ‎∴当正确时，；‎ 当正确时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时，恒成立.‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴当正确时，且 由题设，若和有且只有一个正确，则 ‎（1）正确不正确，∴.‎ ‎（2）正确不正确，∴.‎ 综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查由函数的增减性求解参数范围，二次函数恒成立问题的转化，由命题的真假求解参数范围，属于中档题 ‎21.某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．‎ ‎（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？‎ ‎（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？‎ ‎【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.‎ ‎【详解】（1）当时，该项目获利，则 ‎∴当时，，因此，该项目不会获利 当时，取得最大值，‎ 所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；‎ ‎（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：‎ 当时，‎ 所以当时，取得最小值；‎ 当时，‎ 当且仅当，即时，取得最小值 因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.‎ 试题解析：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎.‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎（1）确定函数y＝f（x）的定义域；‎ ‎（2）求导数y′＝f′（x）；‎ ‎（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎ ‎