2020版高考数学一轮复习（练习·鲁京津琼专用）9平面解析几何 第71练 高考大题突破练 _直线与圆锥曲线的位置关系 5页

第71练 高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系 ‎[基础保分练]‎ ‎1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．‎ ‎2．已知圆O：x2＋y2＝1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点(0，t)作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．‎ ‎3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.‎ ‎(1)求直线BF的斜率；‎ ‎(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.求λ的值．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4．(2018·云南11校跨区联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.‎ 答案精析 ‎1．解　(1)依题意可得 解得a＝，b＝1，‎ 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ ‎①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；‎ ‎②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 联立得方程组 消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1·x2‎ ‎＝.‎ 所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－.‎ 因为OM⊥ON，所以·＝0，‎ 所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，‎ 所以k＝±，‎ 即直线l的方程为y＝±(x－1)．‎ ‎2．解　(1)∵圆O过椭圆C的短轴端点，‎ ‎∴b＝1.‎ 又∵线段PQ长度的最大值为3，‎ ‎∴a＋1＝3，即a＝2，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)由题意可设切线MN的方程为y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0，则＝1，‎ 得k2＝t2－1.①‎ 联立得方程组 消去y整理得 ‎(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.‎ 其中Δ＝(2kt)2－4(k2＋4)(t2－4)‎ ‎＝－16t2＋16k2＋64＝48>0，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 则|MN|＝·.②‎ 将①代入②得|MN|＝，‎ ‎∴S△OMN＝×1×|MN|＝，‎ 而＝≤1，‎ 当且仅当|t|＝时等号成立，‎ 即t＝±.‎ 综上可知，(S△OMN)max＝1.‎ ‎3．解　(1)设F(－c,0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，‎ 又因为B(0，b)，F(－c,0)，‎ 故直线BF的斜率k＝＝＝2.‎ ‎(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．‎ 由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.‎ 因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为 y＝－x＋2c，‎ 与椭圆方程联立，消去y，‎ 整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.‎ 又因为λ＝及xM＝0，‎ 可得λ＝＝＝.‎ ‎4．(1)解　由题意得 解得 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ D(－4，n)，‎ 线段MN的中点P(x0，y0)，‎ 则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，‎ 由(1)可得F(－1,0)，‎ 则直线DF的斜率为kDF＝＝－，‎ 当n＝0时，直线MN的斜率不存在，‎ 根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.‎ 当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝.‎ ‎∵点M，N在椭圆E上，‎ ‎∴ 整理得，＋ ‎＝0，‎ 又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，‎ ‎∴＝－，‎ 直线OP的斜率为kOP＝－，‎ ‎∵直线OD的斜率为kOD＝－，∴直线OD平分线段MN.‎