高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修2-2 10页

第二章 推理与证明综合检测 时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；‎ 直角三角形的面积等于底乘高的一半；‎ 钝角三角形的面积等于底乘高的一半；‎ 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．‎ 以上推理运用的推理规则是(　　)‎ A．三段论推理　　　　　‎ B．假言推理 C．关系推理 ‎ D．完全归纳推理 ‎[答案]　D ‎[解析]　所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．‎ ‎2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系(n≥2，n∈N*)．‎ ‎3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为(　　)‎ A．大前提错误 ‎ B．小前提错误 C．推理形式错误 ‎ D．不是以上错误 ‎[答案]　C ‎[解析]　大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.‎ ‎4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是(　　)‎ A．1 ‎ B．1＋2‎ C．1＋2＋3 ‎ D．1＋2＋3＋4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.‎ ‎5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)‎ A．－1＜a＜1 ‎ B．0＜a＜2‎ C．－＜a＜ ‎ D．－＜a＜ ‎[答案]　C ‎[解析]　类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)⊗(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．‎ ‎(x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1‎ 即x2－x－a2＋a＋1>0‎ 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0‎ 即‎4a2－‎4a－3<0‎ 解得－>0，>>0，‎ 所以＋>＋>0，所以a时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.‎ ‎[答案]　＋＋…＋ ‎[解析]　f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋ f(2k)＝1＋＋＋…＋ f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.‎ ‎15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；‎ ‎②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．‎ ‎[答案]　sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝ ‎[解析]　观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，‎ 由此猜想：‎ sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.‎ 可以证明此结论是正确的，证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)‎ ‎＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－ ‎＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－ ‎＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.‎ ‎16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：‎ ‎①整数集是数域；‎ ‎②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；‎ ‎③数域必为无限集；‎ ‎④存在无穷多个数域．‎ 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎[答案]　③④‎ ‎[解析]　考查阅读理解、分析等学习能力．‎ ‎①整数a＝2，b＝4，不是整数；‎ ‎②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b∉M；‎ ‎③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．‎ ‎④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.‎ 求证：a2＋b2＋c2≥.‎ ‎[证明]　由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.‎ 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ ‎∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.‎ 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，‎ 即a2＋b2＋c2≥.‎ ‎18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．‎ ‎2cos＝，‎ ‎2cos＝，‎ ‎2cos＝，‎ ‎……‎ ‎[证明]　2cos＝2·＝ ‎2cos＝2＝2· ‎＝ ‎2cos＝2 ‎＝2＝ ‎…‎ ‎19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.‎ ‎(1)求a2、a3、a4；‎ ‎(2)求证：数列是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式．‎ ‎[解析]　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得 an＝2－，‎ 代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得 a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.‎ ‎(2)证明：由an·an－1＝2·an－1－1变形，得 ‎(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，‎ 即－＝1，‎ 所以{}是等差数列．‎ 由＝，所以＝＋n－1，‎ 变形得an－1＝，‎ 所以an＝为数列{an}的一个通项公式．‎ ‎20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．‎ ‎[解析]　(1)证法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，且ax1>0，‎ 又∵x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＝－ ‎＝ ‎＝>0，‎ 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ 证法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋ ‎∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，‎ f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，‎ 即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0‎ 则ax0＝－，且00，ax0>0，‎ ‎∴f(x0)>0.‎ 综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负根．‎ ‎21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？‎ ‎[解析]　锐角三角形　∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，‎ 由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.‎ ‎∵cosC＝，‎ ‎∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，①‎ 注意到条件：an＋bn＝cn，‎ 于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②‎ ‎∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，‎ 即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，‎ 从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn ‎＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，‎ 这说明②式成立，从而①式也成立．‎ 故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．‎ ‎22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.‎ 证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝.‎ ‎[分析]　本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．‎ 解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．‎ ‎[证明]　先证必要性．‎ 设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．‎ 若d≠0，则 ＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ 再证充分性．‎ 证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式＋＝ 两端同乘a‎1a2a3，即得a1＋a3＝‎2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.‎ 假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式 ＋＋…＋＝，①‎ ＋＋…＋＋＝②‎ 将①代入②，得 ＋＝，‎ 在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.‎ 将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.‎ 由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．‎ 证法2：(直接证法)依题意有 ＋＋…＋＝，①‎ ＋＋…＋＋＝.②‎ ‎②－①得 ＝－，‎ 在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③‎ 同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④‎ ‎③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)‎ 即an＋2－an＋1＝an＋1－an，‎ 由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{an}是等差数列．‎ ‎ ‎