高中数学 第一章 导数及其应用单元综合测试 新人教版选修2-2 9页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用单元综合测试 新人教版选修2-2 ‎ ‎(时间：120分钟，满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　y＝f(x)在(a，b)上f′(x)>0⇒y＝f(x)在(a，b)上是增函数，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函数⇒f′(x)≥0⇒f′(x)>0.‎ 答案　A ‎2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是2x＋y－1＝0，则(　　)‎ A．f′(x0)>0　　　　　　 B．f′(x0)<0‎ C．f′(x0)＝0　　　　　　 D．f′(x0)不存在 解析　曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝－2<0.‎ 答案　B ‎3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．135° D．150°‎ 解析　∵y′＝x2，k＝tanα＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，‎ ‎∴α＝45°.‎ 答案　B ‎4．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为(　　)‎ A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)‎ C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)‎ 解析　设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ ‎∴x＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.‎ ‎∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．‎ 答案　B ‎5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝sin2x B．y＝x3－x C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)‎ 解析　对于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.‎ 答案　C ‎6．下列积分值为2的是(　　)‎ A.(2x－4)dx B.cosxdx C.dx D.sinxdx 解析　sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2.‎ 答案　D ‎7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为(　　)‎ 解析　由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．‎ 答案　D ‎8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有(　　)‎ A．极大值5，极小值为－27‎ B．极大值5，极小值为－11‎ C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 解析　f′(x)＝3x2－6x－9‎ ‎＝3(x＋1)(x－3)．‎ 当x<－1时，f′(x)>0，‎ 当－10时， f(x)(　　)‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 解析　由题意知，f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x‎2f(x)，则g′(x)＝ex－2x‎2f′(x)－4xf(x)＝ex－2[x‎2f′(x)＋2xf(x)]＝ex－＝ex.‎ 由g′(x)＝0，得x＝2.当x＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e2－2×‎22f(2)＝e2－8·＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．‎ 答案　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．函数f(x)在R上可导，且f′(0)＝2.∀x，y∈R，若函数f(x＋y)＝f(x)f(y ‎)成立，则f(0)＝________.‎ 解析　令y＝0，则有f(x)＝f(x)f(0)．‎ ‎∵f′(0)＝2，∴f(x)不恒为0，∴f(0)＝1.‎ 答案　1‎ ‎14．‎ 解析　‎ 答案　－1‎ ‎15．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________.‎ 解析　∵f′(x)＝x2－‎2f′(1)x＋2，‎ ‎∴f′(1)＝1－‎2f′(1)＋2.‎ ‎∴f′(1)＝1.‎ ‎∴f′(x)＝x2－2x＋2.‎ ‎∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.‎ 答案　2‎ ‎16．一物体以初速度v＝9.8t＋‎6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s内经过的路程是________．‎ 解析　(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t) ‎＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4‎ ‎＝313.6＋52－78.4－26‎ ‎＝261.2.‎ 答案　‎‎261.2米 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．‎ 解　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.‎ 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，‎ 减区间为(－2,2)．‎ ‎(1)当x＝－2，f(x)取得极大值，‎ 故f(－2)＝－＋8＋m＝，‎ ‎∴m＝4.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4，‎ 又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.‎ ‎18．(12分)用总长为‎14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多‎0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．‎ 解　设容器底面宽为x m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.‎ 由解得01(舍去)；‎ ‎②当10)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.‎ ‎(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．‎ 解　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得 f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4，‎ ‎∴(*)‎ ‎(1)当a＝3时，由(*)得 解得b＝－3，c＝12.‎ 又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.‎ 故f(x)＝x3－3x2＋12x.‎ ‎(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．‎ 由(*)式得2b＝9－‎5a，c＝‎4a.‎ 又Δ＝(2b)2－‎4ac＝9(a－1)(a－9)，‎ 解得a∈[1,9]，‎ 即a的取值范围是[1,9]．‎ ‎21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．‎ 解　(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，‎ ‎∴a＋b＝4.①‎ 又f′(x)＝3ax2＋2bx，则 f′(1)＝‎3a＋2b，由条件f′(1)(－)＝－1，‎ 得‎3a＋2b＝9.②‎ 由①，②解得a＝1，b＝3.‎ ‎(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，‎ 令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，‎ 若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则 ‎[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，‎ ‎∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，‎ ‎∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．‎ ‎22．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.‎ ‎(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；‎ ‎(2)证明：(x－1)f(x)≥0.‎ 解　(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，‎ xf′(x)＝xlnx＋1，‎ 题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.‎ 令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.‎ 当00；‎ 当x≥1时，g′(x)≤0，‎ x＝1是g(x)的最大值点，‎ g(x)≤g(1)＝－1.‎ 综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，‎ 即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，‎ 当0