数学卷·2018届四川省宜宾三中高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版） 25页

2016-2017 学年四川省宜宾三中高二（上）12 月月考数学试卷（理 科） 　 一、选择题（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确答案） 1．直线 的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 2．椭圆 的焦距是（　　） A． B． C．1 D．2 3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识 测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 M1，众数为 M2，平均值 为 ，则（　　） A．M1=M2= B．M1=M2＜ C．M1＜M2＜ D．M2＜M1＜ 5．两个圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有（　　） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 6．已知点 A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点 C 在 yOz 平面上，且点 C 到点 A、B 的距离相等，则点 C 的坐示可以为（　　） A．（0，1，﹣1） B．（0，﹣1，6） C．（0，1，﹣6） D．（0，1，6） 7．原点在圆 C：x2+y2+2y+a﹣2=0 外，则 a 的取值范围是（　　） A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2 8．已知椭圆 + =1，则以点 M（﹣1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　） A．3x﹣4y+7=0 B．3x+4y﹣1=0 C．4x﹣3y+7=0 D．4x+3y+1=0 9．已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是 y= x，它的一个 焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B， 交其准线 l′点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　） A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D． 11．在区间[0，1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率，P2 为事件 “xy≤ ”的概率，则（　　） A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D． 12．已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（　　） A． B． C． D．2 　 二、填空.（每题 5 分，共 20 分） 13．直线 l1 ：y=kx﹣1 与直线 l2 ：x+y﹣1=0 的交点位于第一象限则 k 的范围 为　　． 14．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数分别 是： 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4； 乙：2、3、1、1、0、2、1、1、0、1； 则机床性能较好的为　　． 15．如图程序输出的结果是　　． 16 ． 若 椭 圆 ， 和 椭 圆 的焦点相同，且 a1＞a2；给出如下四个结论：其 中，所有正确结论的序号为　　 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点； ② ； ③ ④a1﹣a2＜b1﹣b2． 　 三.解答题 17．已知两条直线 l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的 a 值： （1）l1∥l2 （2）l1⊥l2． 18．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的 某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为 100 分，得分取正整数，抽 取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为 n）进行统计．按照 [50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方 图（图 1），并作出样本分数的茎叶图（图 2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]， [90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名 学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在[90，100] 内的概率． 19．如图，棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2， BD= ． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值； （Ⅲ）求以 C 为顶点，△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高． 20．假设关于某设备的使用年限 x（年）和所支出的维修费用 y（万元）有如表的 统计资料： 使用年限 x（年） 2 3 4 5 6 维修费用 y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求： （1）线性回归方程； （2）根据回归直线方程，估计使用年限为 12 年时，维修费用是多少？ 参考公式： = ， = ﹣ ， = x+ ． 21．已知圆 O：x2+y2=4 和点 M（1，a）． （Ⅰ）若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方 程． （Ⅱ）a= ，过点 M 作圆 O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，求|AC|+|BD|的最大 值． 22．如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭 圆的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的周长为 4（ +1），一等轴双曲线的顶点 是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的 交点分别为 A、B 和 C、D． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2，证明 k1•k2=1； （Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数 λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？ 若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由． 　 2016-2017 学年四川省宜宾三中高二（上）12 月月考数学 试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确答案） 1．直线 的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 【考点】直线的倾斜角． 【分析】根据题意，设该直线的倾斜角为θ，由直线的方程求出该直线的斜率，则 有 tanθ=﹣ ，结合 θ 的范围，分析可得 θ 的值，即可得答案． 【解答】解：设该直线的倾斜角为 θ，则 0°≤θ＜180°， 直线 的斜率 k=﹣ ， 则有 tanθ=﹣ ， 又由 0°≤θ＜180°， 则 θ=150°； 故选：D． 　 2．椭圆 的焦距是（　　） A． B． C．1 D．2 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得 a、b 的值，计算可得 c 的值，进而由 焦距定义计算可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为： ， 则 a2=5，b2=4， 则 c= =1， 则其焦距 2c=2； 故选：D． 　 3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】程序框图． 【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1，a=2； 经第二次循环得到 i=2，a=5； 经第三次循环得到 i=3，a=16； 经第四次循环得到 i=4，a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4 故选 B 　 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识 测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 M1，众数为 M2，平均值 为 ，则（　　） A．M1=M2= B．M1=M2＜ C．M1＜M2＜ D．M2＜M1＜ 【考点】频率分布直方图． 【分析】由频率图求出众数、中位数和平均数，比较即可． 【解答】解：由图知，众数是 M2=5； 中位数是第 15 个数与第 16 个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6， 所以中位数是 M1= =5.5； 平均数是 = ×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴M2＜M1＜ ． 故选：D． 　 5．两个圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有（　　） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【考点】圆的切线方程． 【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条 数． 【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是 2，2 两圆圆心距离： ，说明两圆相交， 因而公切线只有两条． 故选 B． 　 6．已知点 A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点 C 在 yOz 平面上，且点 C 到点 A、B 的距离相等，则点 C 的坐示可以为（　　） A．（0，1，﹣1） B．（0，﹣1，6） C．（0，1，﹣6） D．（0，1，6） 【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标． 【分析】直接利用空间距离公式验证即可． 【解答】解：点 A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点 C 在 yOz 平面上，且点 C 到点 A、B 的距离相等， 如 果 C （ 0 ， 1 ， ﹣1 ），可 得 |AC|= = ； |BC|= = ，选项 A 不满足题意． 对 于 B ： 可 得 |AC|= = ； |BC|= = ，选项 B 不满足题意； 对 于 C ， 可 得 |AC|= = ； |BC|= = ，选项 C 不满足题意； 对 于 D ， 可 得 |AC|= = ； |BC|= = ，选项 D 不满足题意； 故选：C． 　 7．原点在圆 C：x2+y2+2y+a﹣2=0 外，则 a 的取值范围是（　　） A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据二次方程表示圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不 等式组，综合可得实数 a 的取值范围． 【解答】解：∵圆 x2+y2+2y+a﹣2=0，即 x2+（y+1）2=3﹣a， ∴3﹣a＞0，即 a＜3． ∵原点（0，0）在圆 x2+y2+2y+a﹣2=0 的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2． 综上可得，2＜a＜3， 故选：B． 　 8．已知椭圆 + =1，则以点 M（﹣1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　） A．3x﹣4y+7=0 B．3x+4y﹣1=0 C．4x﹣3y+7=0 D．4x+3y+1=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】因为是一个选择题，可采用“点差法”，即先设弦的两端点为 A（x1，y1）， B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点 M，写出 点斜式方程． 【解答】解：设弦的两个端点为 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴ =1， ，两式相减得 ， ∴ ，① 又∵M（﹣1，1）为 AB 的中点， ∴x1+x2=﹣2，y1+y2=2 代入①式得 ，即 kAB= ， ∴直线 AB 方程为 ，即 3x﹣4y+7=0． 故选 A 　 9．已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是 y= x，它的一个 焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的渐近线的方程可得 = ，再利用抛物线的准线 x=﹣6=﹣c 及 c2=a2+b2 即可得出． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是 y= x， ∴ = ， ∵双曲线的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线 x=﹣6 上， ∴c=6． 联立 ， 解得 ． ∴此双曲线的方程为 ， 故选 D． 　 10．如图所示，过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B， 交其准线 l′点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　） A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，根据 抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD 的值，在直角三角形中求得 a，进而根 据 BD∥FG，利用比例线段的性质可求得 p，则抛物线方程可得． 【解答】解：如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设 |BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°， 在直角三角形 ACE 中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a， ∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6， 从而得 a=1， ∵BD∥FG， ∴ = 求得 p= ， 因此抛物线方程为 y2=3x． 故选 C． 　 11．在区间[0，1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率，P2 为事件 “xy≤ ”的概率，则（　　） A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D． 【考点】几何概型． 【分析】分别求出事件“x+y≤ ”和事件“xy≤ ”对应的区域，然后求出面积，利用 几何概型公式求出概率，比较大小． 【解答】解：由题意，事件“x+y≤ ”表示的区域如图阴影三角形， p1= ； 满足事件“xy≤ ”的区域如图阴影部分 所以 p2= = = ＞ ； 所以 ； 故选：B． 　 12．已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（　　） A． B． C． D．2 【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算． 【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 = （x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出 k 的值． 【解答】解：由抛物线 C：y2=8x 得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到 k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=4+ ，x1x2=4． ∴y1+y2= ，y1y2=﹣16， 又 =0， ∴ =（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）= =0 ∴k=2． 故选：D． 　 二、填空.（每题 5 分，共 20 分） 13．直线 l1：y=kx﹣1 与直线 l2：x+y﹣1=0 的交点位于第一象限则 k 的范围为　 （1，+∞）　． 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】联立 ，k≠﹣1，解得交点．根据直线 l1：y=kx﹣1 与直线 l2： x+y﹣1=0 的交点位于第一象限，即可得出． 【解答】解：联立 ，k≠﹣1， 解得 y= ，x= ． ∵直线 l1：y=kx﹣1 与直线 l2：x+y﹣1=0 的交点位于第一象限， ∴ ＞0， ＞0． 解得：k＞1． 则 k 的范围为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）． 　 14．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数分别 是： 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4； 乙：2、3、1、1、0、2、1、1、0、1； 则机床性能较好的为　乙　． 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】分别求出甲、乙两机床每天出次品数的平均数和方差，由此能求出机床 性能较好的为乙． 【解答】解：甲机床每天出次品数的平均数为： = （0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5， 方差 = [（ 0﹣1.5）2×3+（ 1﹣1.5）2×2+（ 2﹣2.5）2×3+（ 3﹣1.5）2+ （4﹣1.5）2]=1.625． 乙机床每天出次品数的平均数为： = （2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2， 方差 = [（ 2﹣1.2） 2 ×2+（ 3﹣1.2） 2+（ 1﹣1.2） 2 ×5+（ 0﹣1.2） 2 × 2]=0.76， ∵ ＞ ， ＞ ， ∴机床性能较好的为乙． 故答案为：乙． 　 15．如图程序输出的结果是　2500　． 【考点】伪代码． 【分析】分析程序语言，得出该程序是累加并输出 S=1+3+…+99 的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是累加并输出 S=1+3+5+…+99 的值， 且 S=1+3+5+…+99=2500． 故答案为：2500． 　 16 ． 若 椭 圆 ， 和 椭 圆 的焦点相同，且 a1＞a2；给出如下四个结论：其 中，所有正确结论的序号为　①③　 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点； ② ； ③ ④a1﹣a2＜b1﹣b2． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由条件可知两椭圆的焦点均在 x 轴上，且 a12﹣b12=a22﹣b22，由 a1＞a2， 可得 b1＞b2，即可判断①③； 举例若椭圆 C1： + =1，椭圆 C2： +y2=1．即可判断②④． 【解答】解：由题意可得两椭圆的焦点均在 x 轴上，且 a12﹣b12=a22﹣b22， 即有 a12﹣a22=b12﹣b22，故③正确； 由 a1＞a2，可得 b1＞b2， 由椭圆的对称性可得椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点，故①正确； 若椭圆 C1： + =1，椭圆 C2： +y2=1． 满足题意，但 a1﹣a2=6﹣5=1，b1﹣b2=2﹣1=1， 即有 a1﹣a2=b1﹣b2．故④错误； 由 = ， =2，即有 ＜ ，故②错误． 故答案为：①③． 　 三.解答题 17．已知两条直线 l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的 a 值： （1）l1∥l2 （2）l1⊥l2． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直 关系． 【分析】（1）根据两直线平行关系，得 ，即可求出 a 的值． （2）根据两直线垂直的关系，即（a﹣1）+2a=0，即可求出 a 的值． 【解答】解：（1）由题意， ，∴a=﹣1； （2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a= ． 　 18．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的 某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为 100 分，得分取正整数，抽 取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为 n）进行统计．按照 [50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方 图（图 1），并作出样本分数的茎叶图（图 2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]， [90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名 学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在[90，100] 内的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案； （Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1，a2， a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 b1，b2，列举法 易得． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量 ， ，… x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030． （Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1，a2， a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 b1，b2， 抽取 2 名学生的所有情况有 21 种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1， a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2）， （a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5， b1），（a5，b2），（b1，b2）． 其中 2 名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有 10 种， ∴所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率 ． 　 19．如图，棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2， BD= ． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值； （Ⅲ）求以 C 为顶点，△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离 计算． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出 BD⊥AC，BD⊥PA，由此能证明 BD⊥平面 PAC． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B﹣PD﹣C 的余弦值． （III）设△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高为 h，由 VP﹣BDC=VC﹣PBD，能求出△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高． 【解答】证明：（Ⅰ）在 Rt△BAD 中，AD=2，BD=2 ， ∴AB=2，ABCD 为正方形，∴BD⊥AC． ∵PA⊥平面 ABCD，∴BD⊥PA． ∵AC⊂平面 PAC，PA⊂平面 PAC，AC∩PA=A， ∴BD⊥平面 PAC．… 解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 则 B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， ∴ =（﹣2，2，0）， =（0，2，﹣2）， =（2，0，0）， 设平面 PCD 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 y=1，得 =（0，1，1）， 高平面 PBD 的法向量 ， 则 ，取 a=1，得 =（1，1，1）， ∵cos＜ ＞= = = ， ∴二面角 B﹣PD﹣C 的余弦值为 ． （Ⅲ）∵AB=AD=PA=2，AB，AD，AP 两两垂直， ∴PB=PD=BD= ， ∴ =2 ， 设△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高为 h， 由 VP﹣BDC=VC﹣PBD，得 ， ∴h= = = ． ∴△PBD 为底面的棱锥 C﹣PBD 的高为 ． 　 20．假设关于某设备的使用年限 x（年）和所支出的维修费用 y（万元）有如表的 统计资料： 使用年限 x（年） 2 3 4 5 6 维修费用 y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求： （1）线性回归方程； （2）根据回归直线方程，估计使用年限为 12 年时，维修费用是多少？ 参考公式： = ， = ﹣ ， = x+ ． 【考点】线性回归方程． 【分析】（1）根据所给的数据，做出变量 x，y 的平均数，根据最小二乘法做出线 性回归方程的系数，写出线性回归方程； （2）当自变量为 20 时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 =4 ， =5 ， = =1.23， =5﹣4×1.23=0.08， ∴ =1.23x+0.08 （2）当自变量 x=12 时，预报维修费用是 y=1.23×12+0.08=14.84（万元）， 即估计使用 12 年时，维修费用是 14.84 万元． 　 21．已知圆 O：x2+y2=4 和点 M（1，a）． （Ⅰ）若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方 程． （Ⅱ）a= ，过点 M 作圆 O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，求|AC|+|BD|的最大 值． 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（Ⅰ）要求过点 M 的切线方程，关键是求出切点坐标，由 M 点也在圆上， 故满足圆的方程，则易求 M 点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答 案． （Ⅱ）由于直线 AC、BD 均过 M 点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程， 但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为 0 的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由条件知点 M 在圆 O 上， ∴1+a2=4 ∴a=± 当 a= 时，点 M 为（1， ），kOM= ，k 切线=﹣ 此时切线方程为：y﹣ =﹣ （x﹣1） 即：x+ y﹣4=0 当 a=﹣ 时，点 M 为（1，﹣ ），kOM=﹣ ，k 切线= 此时切线方程为：y+ = （x﹣1） 即：x﹣ y﹣4=0 ∴所求的切线方程为：x+ y﹣4=0 或 x﹣ y﹣4=0 （Ⅱ）当 AC 的斜率为 0 或不存在时，可求得 AC+BD=2（ + ） 当 AC 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AC 的方程为 y﹣ =k（x﹣1）， 直线 BD 的方程为 y﹣ =﹣ （x﹣1）， 由弦长公式 l=2 可得：AC=2 BD=2 ∵AC2+BD2=4（ + ）=20 ∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40 故 AC+BD≤2 即 AC+BD 的最大值为 2 　 22．如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭 圆的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的周长为 4（ +1），一等轴双曲线的顶点 是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的 交点分别为 A、B 和 C、D． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2，证明 k1•k2=1； （Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数 λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？ 若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由． 【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 = ，及椭圆的定义得到又 2a+2c= ，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可 求得该双曲线的方程； （Ⅱ）设点 P（x0，y0），根据斜率公式求得 k1、k2，把点 P（x0，y0）在双曲线上， 即可证明结果； （Ⅲ）设直线 AB 的方程为 y=k（x+2），则可求出直线 CD 的方程为 y= （x﹣2）， 联 立 直 线 和 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 ， 即 可 求 得 |AB| ， |CD| ， 代 入 |AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得 λ 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 = ， 得 ，又 2a+2c= ， 所以可解得 ，c=2，所以 b2=a2﹣c2=4， 所以椭圆的标准方程为 ； 所以椭圆的焦点坐标为（±2，0）， 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 ． （Ⅱ）设点 P（x0，y0）， 则 k1= ，k2= ， ∴k1•k2= = ， 又点 P（x0，y0）在双曲线上， ∴ ，即 y02=x02﹣4， ∴k1•k2= =1． （Ⅲ）假设存在常数 λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立， 则由（II）知 k1•k2=1， ∴设直线 AB 的方程为 y=k（x+2），则直线 CD 的方程为 y= （x﹣2）， 由方程组 消 y 得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由韦达定理得， ， ∴AB= = ， 同理可得 CD= = = ， ∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|， ∴λ= = ﹣ = = ， ∴存在常数 λ= ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．