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  • 2021-06-19 发布

2019届二轮复习(理)专题八选修4系列选讲第一讲选修4-4坐标系与参数方程学案(全国通用)

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专题八 选修4系列选讲 第一讲 选修4-4 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程及应用 ‎1.直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则 ‎2.几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r.‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ.‎ ‎(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asinθ.‎ ‎3.几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0.‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b.‎ ‎[解] (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程 ρ=4cosθ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cosα· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 解决极坐标问题应关注的两点 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决.‎ ‎(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中,需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时,利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利.‎ ‎[对点训练]‎ ‎(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.‎ ‎[解] (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,‎ 则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,‎ 由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,‎ ‎∴+===.‎ 考点二 参数方程及应用 ‎1.圆的参数方程 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.‎ ‎2.椭圆的参数方程 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ ‎3.直线的参数方程 ‎(1)经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.‎ ‎(2)若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎①t0=;‎ ‎②|PM|=|t0|=;‎ ‎③|AB|=|t2-t1|;‎ ‎④|PA|·|PB|=|t1·t2|.‎ 角度1:参数方程与普通方程的互化 ‎[解] (1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-‎ ‎16.‎ 综上,a=8或a=-16.角度2:直线参数方程中参数几何意义的应用 ‎[解] (1)曲线C的普通方程为+=1.‎ 当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,‎ 当cosα=0时,l的普通方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),‎ 所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=,‎ 故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.‎ 解决参数方程问题的3个要点 ‎(1)把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法.‎ ‎(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数,注意参数的几何意义及变化范围.‎ ‎(3)直线参数方程为(α为倾斜角,t为参数),其中|t|=|PM|,P(x,y)为动点,M(x0,y0)为定点,在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.[角度1]设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.‎ ‎[解] (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),‎ 所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率为k=.‎ ‎(2)解法一:由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.‎ 由直线l的参数方程(t为参数,α为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),‎ 即kx-y+4-3k=0.‎ 当直线l与圆C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,‎ 即<2,解得k>.‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ 解法二:将圆C的参数方程化成普通方程为(x-1)2+(y+1)2=4 ①,‎ 将直线l的参数方程代入①式,得 t2+2(2cosα+5sinα)t+25=0. ②.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时,方程②有两个不相等的实根,即Δ=4(2cosα+5sinα)2-100>0,‎ 即20sinαcosα>21cos2α,两边同除以20cos2α,得tanα>,即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2.[角度2](2018·郑州一模)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.‎ ‎[解] (1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,‎ ‎∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.‎ ‎(2)将直线l:(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中,化简得t2+5t+18=0,且Δ>0.∴t1t2=18.‎ ‎∵点M(5,)在直线l上,根据直线参数方程中参数t的几何意义,得|MA|·|MB|=|t1t2|=18.‎ 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎1.对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.‎ ‎2.对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷.‎ ‎[解] (1)由消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2,‎ 所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.‎ 由ρcos=-,得ρcosθ-ρsinθ=-2.‎ 可得直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ ‎(2)直线l与x轴,y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,2),化为极坐标为A(2,π),B,‎ 设点P的坐标为(-5+cost,3+sint),则点P到直线l的距离为d= ‎=,‎ 所以dmin==2,又|AB|=2,‎ 所以△PAB面积的最小值=×2×2=4.‎ 解决极坐标与参数方程问题的关键 ‎(1)会转化:把直线与圆的参数方程转化为普通方程时,要关注参数的取值范围的限定,还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎(2)懂技巧:合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算,利用参数及其几何意义,结合关系式寻找关于参数的方程或函数.‎ ‎[对点训练]‎ 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(θ为参数,01,即α∈或α∈.‎ 综上,α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 (t为参数,<α<).‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.‎ 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.‎ 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数,<α<).‎ ‎1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.‎ ‎2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用.‎ 专题跟踪训练(三十二)‎ ‎1.(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程.‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点分别为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎[解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ ‎∴C1:x=-2的极坐标方程为ρcosθ=-2,‎ C2:(x-1)2+(y-2)2=1的极坐标方程为(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-2)2=1,化简,得ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.‎ ‎(2)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入 圆C2:ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,‎ 得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.‎ ‎∴|MN|=|ρ1-ρ2|=.‎ ‎∵圆C2的半径为1,∴|C2M|2+|C2N|2=|MN|2,‎ ‎∴C2M⊥C2N.‎ ‎∴△C2MN的面积为·|C2M|·|C2N|=×1×1=.‎ ‎2.(2018·洛阳联考)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,已知点R.‎ ‎(1)以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标.‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.‎ ‎[解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1.‎ 点R的直角坐标为(2,2).‎ ‎(2)设点P(cosθ,sinθ),根据题意得Q(2,sinθ),即可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,‎ ‎∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°).‎ ‎∴当θ=30°时,|PQ|+|QR|取最小值2,‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4.‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎3.(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-3=0.‎ ‎(1)说明C2是哪种曲线,并将C2的方程化为直角坐标方程.‎ ‎(2)C1与C2有两个公共点A,B,定点P的极坐标,求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之积.‎ ‎[解] (1)将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=4,所以C2是圆.‎ ‎(2)将C1的参数方程(t为参数),代入(x-1)2+y2=4中得2+2=4,化简,得t2+t-3=0.‎ 设两根分别为t1,t2,‎ 由根与系数的关系得 所以|AB|=|t1-t2|===,‎ 定点P到A,B两点的距离之积|PA|·|PB|=|t1t2|=3.‎ ‎4.(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=,在以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.‎ ‎[解] (1)∵C1的极坐标方程是ρ=,‎ ‎∴4ρcosθ+3ρsinθ=24,‎ ‎∴4x+3y-24=0,‎ 故C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为∴x2+y2=1,‎ 故C2的普通方程为x2+y2=1.‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2cosα,2sinα),则点N到曲线C1的距离 d= ‎= ‎=(其中φ满足tanφ=).‎ 当sin(α+φ)=1时,d有最小值,‎ 所以|MN|的最小值为.‎

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